Здравствуйте, Дмитрий!
1a)
x-y>=0 -> y<=x (полуплоскость, лежащая ниже прямой у=х вместе с этой прямой)
1b)
-1<=xy<=1
Рисуем в первой четверти график у=1/x, симметрически отображаем его в остальных четвертях. Областью определения будет внутри этих четырех кривых.

1c)

Область определения получается вырезанием из координатной плоскости круга единичного радиуса с центром в начале координат.
2a)


Использована формула

2b)
используем формулу производной дроби:


2c)



2d) Используем формулу производной произведения:


2e)


2f)


3.



Вычисляем значения в точке:



4.

5.
Используем вспомогательную точку М0(2;3)
dx=x-x0=2,1-2=0,1
dy=y-y0=3,02-3=0,02






Точное значение функции, если так можно выразиться о решении, полученном с помощью Excel: z(M)=-0,60132018
Относительная погрешность:

Абсолютная погрешность:

4*(правая часть).
Областью являетря треугольник с вершинами в точках (1,0),(1,-1),(2,-1).
Для нахождения точек экстремума составляем систему уравнений, приравняв частные производные к 0:


Решение системы - точка (-1/2;1/6) - не принадлежит области, поэтому функция принимает минимальное и максимальное значения на границе этой области.
Рассмотрим часть границы х=1 (-1<=y<=0). В этом случае z=3y^2-y+4. Вершина параболы в точке у=1/6, поэтому максимум и минимум на концах: z(1,-1)=8, z(1,0)=4.
Рассмотрим часть границы y=-1 (1<=x<=2). В этом случае z=x^2+x+6. Вершина параболы в точке x=-1/2, поэтому максимум и минимум на концах, один из которых уже учтен в предыдущем случае: z(2,-1)=12.
Рассмотрим часть границы у=1-х (1<=х<=2). В этом случае z=4х^2-4х+5. Вершина параболы в точке х=1/2, поэтому максимум и минимум на концах, которые уже рассмотрены.
Итак, максимальное значение 12, минимальное 4.

Здравствуйте, Дмитрий!

Рассмотрим первое задание правой части.


Искомые производные второго порядка представлены во второй и третьей строках приведенного решения.


Искомые производные второго порядка представлены во второй строке решения.


Искомые производные второго порядка представлены в третьей - десятой строках решения.


Искомые производные второго порядка представлены в пятой - десятой строках решения.


Искомые производные второго порядка представлены в третьей - шестой строках решения.

Рассмотрим второе задание правой части.


Рассмотрим третье задание правой части.

а) Пусть z = xy - 3x² - 2y² + 4. Найдём частные производные этой функции и приравняем их к нулю:
z'_x = y - 6x = 0, z'_y = x - 4y = 0.

Решив эту систему уравнений, получим стационарную точку (0; 0).

Найдём частные производные второго порядка:
z"_xx = -6, z"_xy = 1, z"_yy = -4.

Найдём значения частных производных второго порядка в стационарной точке:
A = z"_xx(0; 0) = -6, B = z"_xy(0; 0) = 1, C = z"_yy(0; 0) = -4.

В стационарной точке получаем B² - AC = 1² - (-6) [$183$] (-4) = 1 - 24 = -23 < 0 при A = -6 < 0. Следовательно, стационарная точка является точкой максимума функции z.

Ответ: функция имеет максимум в точке (0; 0).

б) Пусть z = x³ + y² - 3ln x - 8lny. Найдём частные производные этой функции и приравняем их к нулю:
z'_x = 3x² - 3/x = 0, (3x³ - 3)/x = 0, 3(x³ - 1) = 0, x = 1,
z'_y = 2y - 8/y = 0, (2y² - 8)/y = 0, 2(y² - 4) = 0, y = [$177$]2;
получили стационарную точку (1; 2), потому что в точке (1; -2), имеющей отрицательную ординату, функция z не определена (не существует ln (-2)).

Найдём частные производные второго порядка:
z"_xx = 6x + 3/x², z"_xy = 0, z"_yy = 2 + 8/y².

Исследуем знак приращения [$916$]z в окрестности стационарной точки. Так как
A = z"_xx(1; 2) = 6 [$183$] 1 + 3/1² = 9, B = z"_xy(1; 2) = 0, C = z"_yy(1; 2) = 2 + 8/2² = 4, то B² - AC = 0² - 9 [$183$] 4 = -36 < 0 при A = 6 > 0, то в стационарной точке функция z имеет минимум.

Ответ: функция имеет минимум в точке (1; 2).

С уважением.

Здравствуйте, Дмитрий!
4) z_x=32x³y³-12x³
z_y=24x⁴y²-6
dz=z_xdx+z_ydy=(32x³y³-12x³)dx+(24x⁴y²-6)dy

Здравствуйте, Дмитрий!

Задача 6 левой части.

Нормалью к поверхности в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) называется проходящая через эту точку прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке. Её каноническое уравнение можно представить в виде:



Касательной плоскостью к поверхности в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке. Её уравнение имеет вид:



Здесь {A, B, C} - нормальный вектор. Если поверхность описывается уравнением вида F(x, y, z) = 0 и в точке (x[sub]0[/sub], y[sub]0[/sub], z[sub]0[/sub]) функция F имеет непрерывные частные производные первого порядка, не равные одновременно нулю, то координатами нормального вектора в этой точке будут значения частных производных, то есть



В данном случае




В точке E(2, 1, 3) имеем A = -6·1+7 = 1, B = 4·1-6·2 = -8, C = -1 и уравнение нормали будет



а уравнение касательной плоскости



или



Задача 5 правой части.
Градиент функции - вектор, компоненты которого равны частным производным функции по всем её аргументам. В данном случае




поэтому

В частности, в точке A(2, -3) имеем

и


Задача 6 правой части.
Производная функции по направлению - проекция градиента функции на это направление, или, что то же самое, скалярное произведение градиента на орт направления:



где


В данном случае






Для вектора a(4, -3) имеем |a| = [$8730$]4[sup]2[/sup]+(-3)[sup]2[/sup] = 5 и орт направления будет равен a[sub]0[/sub] = {0.8, -0.6}. Тогда



В частности, в точке B(1, 0) имеем



Задача 8 правой части.
Аналогично задаче 6,







В частности, в точке M[sub]1[/sub](0, 0, 0) имеем



Для вектора направления M[sub]1[/sub]M[sub]2[/sub] = {3, -4, 2} имеем |M[sub]1[/sub]M[sub]2[/sub]| = [$8730$]3[sup]2[/sup]+(-5)[sup]2[/sup]+2[sup]2[/sup] = [$8730$]29 и орт направления будет равен a[sub]0[/sub] = {3/[$8730$]29, -4/[$8730$]29, 2/[$8730$]29}. Тогда производная по направлению M[sub]1[/sub]M[sub]2[/sub] в точке M[sub]1[/sub] будет равна 0·3/[$8730$]29 - 0·4/[$8730$]29 + 1·4/[$8730$]29 = 4/[$8730$]29.