Здравствуйте, Посетитель - 370501!

2. Данные функции имеют частные производные всех порядков в любой точке (x, y) [$8712$] R[sup]2[/sup]. Необходимое условие существования экстремума в точке:

Оно, однако, не является достаточным, то есть в подобной точке (называемой также стационарной точкой) функция может и не иметь экстремума (гарантируется только, что все точки экстремума - стационарные). Достаточное условие существования экстремума в стационарной точке:

При этом тип экстремума определяется знаком частных производных

в точке максимума они отрицательны, а в точке минимума - положительны.

a)






В данном случае [$916$] = (-2)·(-12) - 3[sup]2[/sup] = 15 > 0 для всех (x, y), то есть все стационарные точки буду точками экстремума. Найдём их, решив систему:

Она имеет единственное решение x = 1, y = 0. Поскольку частные производные

отрицательны, то функция имеет единственную точку максимума - (1, 0).

b)






В данном случае [$916$] = 72xy[sup]2[/sup]-72y[sup]3[/sup]-36x[sup]2[/sup]. Найдём стационарные точки, решив систему:

Первое уравнение имеет два набора решений: x = 0 и x = 2y. Подставляя во второе уравнение, получаем для первого набора y = 0, а для второго - y = 0 и y = 3. Таким образом, имеем две стационарные точки - (0, 0) и (6, 3). Для второй из них [$916$] = 72·6·3[sup]2[/sup]-72·3[sup]3[/sup]-36·6[sup]2[/sup] = 3888 - 1944 - 1296 = 648 > 0, z"[sub]xx[/sub] = -18 < 0, z"[sub]yy[/sub] = -108 < 0, то есть это точка максимума. Для первой точки [$916$] = 0, поэтому необходимы дополнительные исследования. Отметим, что функция z(x, 0) = -x[sup]3[/sup] принимает отрицательные значения при x > 0 и положительные при x < 0, то есть функция z в любой окрестности точки (0, 0) принимает значения с разным знаком, причём z(0, 0) = 0. Следовательно, точка (0, 0) не является экстремумом.

Итак, функция имеет единственную точку максимума - (6, 3).

Здравствуйте, Посетитель - 370501!
3) Находим частные производные:
z_x=2x+4y
z_y=4x+2y
Находим стационарные точки:
2x+4y=0
4x+2y=0
x=0; y=0
В область D она не попадает.

Исследуем z на границе:
а) y=1;3[$8804$]x[$8804$]4
z=x²+4x-7
на участке 3[$8804$]x[$8804$]4 функция возрастает
min достигается при x=3 (z=14)
max достигается при x=4 (z=25)
б) x=3;1[$8804$]y[$8804$]2
z=y²+12y+1
на участке 1[$8804$]y[$8804$]2 функция возрастает
min достигается при y=1 (z=14)
max достигается при y=2 (z=29)
в) x+y=5;y=5-x;3[$8804$]x[$8804$]4
z=x²+4x(5-x)+(5-x)²-8=-2x²+10x+17
на участке 3[$8804$]x[$8804$]4 функция убывает
min достигается при x=4 (z=25)
max достигается при x=3 (z=29)

Из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее:
минимум достигается в точке (3;1) и равен 14
максимум достигается в точке (4;1) и равен 29