Здравствуйте, Ольга Никанова!

2. Данный интеграл является криволинейным второго рода. Поскольку в задании не указан тип кривой, то будем считать, что интегрирование ведётся по отрезку [AB] прямой. Используя уравнение прямой, проходящей через две точки, получим
(x - 1)/(2 - 1) = (y - 1)/(0 - 1),
x - 1 = 1 - y,
-y = x - 2,
y = -x + 2; тогда dy = -dx.

Следовательно,
_AB[$8747$]2ydx + (2x + y)dy = ₁[$8747$]² 2(-x + 2)dx + (2x + (-x + 2))(-dx) = ₁[$8747$]² (-2x + 4 - 2x + x - 2)dx = ₁[$8747$]² (-3x + 2)dx =
= -3 [$183$] ₁[$8747$]² xdx + 2 [$183$] ₁[$8747$]² dx = -3x²/2|₁² + 2x|₁² = -3(2² - 1²)/2 + 2(2 - 1) = -9/2 + 2 = -5/2.

С уважением.

Здравствуйте, Ольга Никанова!
10) Из первого уравнения находим y=x'-2e^t и подставляем во второе, получаем
x''-2e^t=x+t²
x''-x=2e^t+t² (линейное уравнение)
Решаем однородное x''-x=0. Характеристическое уравение [$955$]²-1=0 имеет корни [$955$]=[$177$]1, общее решение
x=C₁e^t+C₂e^-t
Находим частное решение неоднородного
а) для правой части 2e^t частное решение ищем в виде x=Ate^t, подставляя в уравнение, находим
A(t+2)e^t-Ate^t=2e^t ---> A=1, т.е. x=te^t
б) для правой части t² частное решение ищем в виде x=At²+Bt+C, подставляя в уравнение, находим
2A-At²-Bt-C=t² ---> A=-1, B=0, C=-2, т.е. x=-t²-2
Следовательно, x=C₁e^t+C₂e^-t+te^t-t²-2

Подставляя x(t) в равенство y=x'-2e^t, получаем y=C₁e^t-C₂e^-t+(t-1)e^t-2t

Ответ:
x=C₁e^t+C₂e^-t+te^t-t²-2
y=C₁e^t-C₂e^-t+(t-1)e^t-2t