Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 184236
17.10.2011, 20:41
65.51 руб.
18.10.2011, 09:27
0 11 3
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Задали достаточно большую самостоятельную работу на дом по пределам последовательности и функции, сделал абсолютно все, за исключением 2 номеров, с которыми и прошу помочь.
1)
2)

Заранее премного благодарен.

Обсуждение

Неизвестный
17.10.2011, 20:43
общий
17.10.2011, 21:17
Что-то формулы абсолютно неверно встали, а как исправить первый пост не могу найти... Продублирую.
1) lim (1/(1*3)+1/(2*4)+...+1/(n*(n+2))
n->бесконечность
2) lim ((2x+1)/(x-3))^(3x/2)
n->бесконечность
Неизвестный
17.10.2011, 21:16
общий
17.10.2011, 21:21
Александр,проверьте,пожалуйста общую формулу для первого предела, для последнего члена,с n. Как я понял,общая формула n-ного члена ряда: 1/(n*(n+2)). Или это не так? Еще,что увидел,для второго номера имеет место x->бесконечность,а не n.
Неизвестный
17.10.2011, 21:18
общий
Поправил, да, вы правильно поняли.
Неизвестный
17.10.2011, 21:44
общий
это ответ
Здравствуйте, Неучев Александр Романович!
1) Представим каждую дробь в виде: 1/(n*(n+2))=1/2*(1/n - 1/(n+2)), например 1/(1*3)=1/2*(1-1/3), 1/(2*4)=1/2*(1/2 - 1/4), и т.д. Вынесем из каждого такого выражения 1/2 за скобки,получим 1/2*lim(1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5...1/n-1/(n+2)). Для наглядности,чтобы увидеть,какие элементы ряда взаимноуничтожат друг друга, представим последовательность под знаком предела как сумму двух подпоследовательностей: первая (положительная): 1;1/2;1/3... 1/(n-1);1/n, и вторая (отрицательная): -1/3;-1/4;-1/5...-1/n ;-1/(n+1);-1/(n+2).Как уже было сказано выше,в этих подпоследовательностях есть члены,взаимноуничтожающие соответствующие элементы другого ряда. После сокращения останется: 1/2*lim{1+1/2- 1/(n+1) - 1/(n+2)}. Разбиваем данное выражение как предел суммы на сумму пределов - пределы lim(1/(n+1)) и lim(1/(n+2)) равны оба нулю. Остальные пределы - константы 1 и 1/2: 1/2*(1+1/2)=3/4. Получим ответ: 3/4.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
17.10.2011, 21:46
общий
это ответ
Здравствуйте, Неучев Александр Романович!
1) Преобразуем последовательность
xn=(1/(1*3)+1/(2*4)+...+1/(n*(n+2))=(1/2)[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+(1/4-1/6)+(1/5-1/7)+...
...+(1/(n-3)-1/(n-1))+(1/(n-2)-1/(n))+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))]=(1/2)[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]
Отсюда находим
limxn=(1/2)[1+1/2-0-0]=3/4
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
17.10.2011, 21:53
общий
2) при x[$8594$]+[$8734$] величина
(2x+1)/(x-3)>(2x+1)/(x+1/2)=2
поэтому функция f(x), предел которой ищется, больше, чем 23x/2[$8594$]+[$8734$]
Следовательно, указанного предела не существует
давно
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Старший Модератор
312929
1973
17.10.2011, 22:08
общий
это ответ
Здравствуйте, Неучев Александр Романович!

1) Воспользуемся тем, что



и запишем предел в виде





2)
Неизвестный
18.10.2011, 18:46
общий
Большое спасибо всем, кто изъявил желание мне помочь. Касательно первого - сам бы наверное не догадался, что так можно переписать предел, так как редко такие пределы решали (а конкретно подобный никогда), но там в основном с видимыми геометрическими и арифметическими прогрессиями были, с факториалами и т.п. и сложностей не вызывали. У одногруппников тоже аналога не было, поэтому сам бы точно слету бы не решил, так что спасибо.
На счет второго, были сомнения между двумя вариантами ответов: не существует и бесконечность. В итоге, решил по wolframalpha и убедился, что все-таки бесконечность, а Алексей показал вполне простое решение сего примера, за что ему также большое спасибо.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
18.10.2011, 21:31
общий
ссылку на учебное пособие

Взял учебник Никольского, открываю его на стр.60, читаю:
Теорема 1. Если переменная xn имеет предел, то она ограничена.

Если limxn=[$8734$], то она неограничена. Есть в этом сомнения? Если сомнений нет, то последовательность, имеющая бесконечный предел, предела не имеет.

Читаю учебник дальше. Вводится понятие беконечно большой величины без употребления слова "предел". Дальше вводится обозначение limxn=[$8734$] для бесконечно большой величины и говорится следующее:
Такая терминология считается удобной, несмотря на то, что знак [$8734$] не обозначает никакого числа и бесконечно большая заведомо ни к какому конечному пределу (числу) не стремится.


P.S. На вещественной оси нет такого элемента [$8734$], поэтому запись limxn=[$8734$] это просто удобная и короткая форма сказать, что последовательность xn явялется бесконечно большой, а не то, что в множестве вещественных чисел существует элемент, который явялется пределом бесконечно большой последовательности.
Неизвестный
19.10.2011, 03:53
общий
Адресаты:
Спасибо за понимание. Затруднение вызвало лишь определение бесконечно удаленной точки,которое было использовано лектором в курсе ТФКП. Вопрос исчерпан.
С уважением,
Andrekk.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
19.10.2011, 09:34
общий
К сожалению, математика не так едина, как это говорят. В курсе математического анализа свои определения, а в курсе ТФКП свои. И они часто не совпадают. Это сложилось исторически и ничего с этим уже не поделаешь. В ТФКП традиционно принято расширять множество комплексных чисел дополнительной точкой [$8734$] так, что эта точка является элементом множества комплексных чисел. Поэтому для бесконечно больших последовательностей в курсе ТФКП становится обоснованно говорить, что для них существует предел (так как точка [$8734$] теперь существует).

Неприятным следствием этого является тот факт, что комплексная бесконечность на вещественной прямой проектируется в вещественную бесконечность так, что вещественная прямая также автоматически оказывается пополненной. Это вызывает определенный конфликт с курсом математического анализа, в котором традиционно вещественная ось не считается пополненной бесконечностью.
Форма ответа