Здравствуйте, Посетитель - 382281!

Полагаю, что скорее всего, задача формулируется так:
К струне длиной [i]l[/i] с жёстко закреплёнными концами в момент времени [i]t[/i] = 0 приложена поперечная сила с линейной плотностью [i]F[/i] = [i]A[/i] [$183$] sin [i][$969$]t[/i] ([i]A[/i] = const). Найти колебания струны, если начальные скорости её точек были равны нулю, а начальные отклонения имели форму параболы, указанной на рисунке.



Под линейной плотностью силы понимаем величину силы, приходящейся на единицу длины струны. А найти колебания - это значит найти функцию u(x, t).

Составим сначала уравнение колебаний. В общем случае оно имеет вид
[$8706$][sup]2[/sup]u/[$8706$]t[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] [$183$] [$8706$][sup]2[/sup]u/[$8706$]x[sup]2[/sup] + G(x, t), (1)
где a[sup]2[/sup] = T[sub]0[/sub]/[$961$], T[sub]0[/sub] - начальное натяжение нити, [$961$] - масса единицы длины струны (линейная плотность струны), G(x, t) = F/[$961$].

В нашем случае G(x, t) = A/[$961$] [$183$] sin [$969$]t = [$945$] [$183$] sin [$969$]t, то есть уравнение (1) запишется в следующем виде:
[$8706$][sup]2[/sup]u/[$8706$]t[sup]2[/sup] = a[sup]2[/sup] [$183$] [$8706$][sup]2[/sup]u/[$8706$]x[sup]2[/sup] + [$945$] [$183$] sin [$969$]t, (2)
где [$945$] = A/[$961$],
а начальные и краевые условия задаются выражениями
u|[sub]t = 0[/sub] = 4h/l[sup]2[/sup] [$183$] x(l - x) (струна в начальный момент времени имеет форму параболы, показанной на рисунке),
[$8706$]u/[$8706$]t|[sub]t = 0[/sub] = 0 (скорости точек струны в начальный момент времени равны нулю),
u|[sub]x = 0[/sub] = u|[sub]x = l[/sub] = 0 (концы струны жёстко закреплены).

Решение уравнения (2) будем искать в виде суммы двух функций: u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), где функция v(x, t) - решение однородного дифференциального уравнения [$8706$]²v/[$8706$]t² = a² [$183$] [$8706$]²v/[$8706$]x² при начальных и краевых условиях
v|_{t = 0} = 4h/l² [$183$] x(l - x), [$8706$]v/[$8706$]t|_{t = 0} = 0, v|_{x = 0} = v|_{x = l} = 0.
Для её нахождения воспользуемся готовым решением, показанным ниже (пример 3), взятым из книги Математика для инженеров: учебник. В 2 т. Т. 2 / Под ред. Н. А. Микулика. - Минск: Элайда, 2006. - 496 с. (с. 260 - 261).


ссылка для загрузки решения однородного уравнения

Понятно, надеюсь, что под F(x) в рассмотренном решении следует понимать [$8706$]v/[$8706$]t|_{t = 0}, а выражение для u(x, t) в рассмотренном решении даёт функцию v(x, t).

Функция w(x, t) удовлетворяет уравнению [$8706$]²w/[$8706$]t² = a² [$183$] [$8706$]²w/[$8706$]x² + [$945$] [$183$] sin [$969$]t при нулевых начальных и краевых условиях
w|_{t = 0} = 0, [$8706$]w/[$8706$]t|_{t = 0} = 0, w|_{x = 0} = w|_{x = l} = 0.

Представим функцию G(x, t) = [$945$] [$183$] sin [$969$]t рядом [$945$] [$183$] sin [$969$]t = [$8721$]_{n = 1}^[$8734$] g_n(t)sin (nпx/l), где, согласно книге Карпук А. А., Жевняк Р. М. Сборник задач по специальным главам высшей математики: Уравнения математической физики... - Минск, Харвест, 2007. - 112 с. (с. 31),
g_n(t) = (2/l) [$183$] ₀[$8747$]^t [$945$] [$183$] sin (nпx/l) [$183$] dx = -2[$945$]/(nп) [$183$] sin [$969$]t [$183$] cos (nпx/l)|_{x = 0}^{x = l} =
= 0, если n = 2k,
= 4[$945$]/(nп) [$183$] sin [$969$]t, если n = 2k + 1, k = 0, 1, 2, ... .

Итак, коэффициенты g_2k = 0, g_{2k + 1} = (4[$945$] [$183$] sin [$969$]t)/((2k + 1)п). Для отыскания коэффициентов ряда в разложении w(x, t) = [$8721$]_{n = 1}^[$8734$] [$947$]_n(t) [$183$] sin (nпx/l) решим задачу Коши
[$8706$]²[$947$]_{2k + 1}(t)/[$8706$]t² + ((2k + 1)пx/l)²[$947$]_{2k + 1}(t) = (4[$945$] [$183$] sin [$969$]t)/((2k + 1)п),
[$947$]_{2k + 1}(0) = d[$947$]_{2k + 1}(0)/dt = 0.

Решением этой задачи Коши, как указано там же на с. 32, является функция
[$947$]_{2k + 1}(t) = (4[$945$]l)/((2k + 1)²п²a) [$183$] ((2k + 1)пa/l [$183$] sin [$969$]t - [$969$] [$183$] sin ((2k + 1)пat/l))/(((2k + 1)пa/l)² - [$969$]²).

Заметим, что последнее выражение имеет смысл при любом k только в том случае, когда частота [$969$] вынуждающей силы не совпадает с одной из нечётных собственных частот (2k + 1)пa/l струны, то есть в отсутствие резонанса.

Подставив теперь [$947$]_{2k + 1}(t) в ряд w(x, t) = [$8721$]_{i = 0}^k [$947$]_{2k + 1}(t) [$183$] sin ((2k + 1)пx/l), окончательно найдём, что
w(x, t) = (4[$945$]l)/(п[sup]2[/sup]a) [$183$] [$8721$][sub]i = 0[/sub][sup]k[/sup] ((2k + 1)пa/l [$183$] sin [$969$]t - [$969$] [$183$] sin ((2k + 1)пat/l))/(((2k + 1)пa/l)[sup]2[/sup] - [$969$][sup]2[/sup]) [$149$] sin ((2k + 1)пx/l).

Итак, функции v(x, t) и w(x, t) найдены, а их сумма u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) является решением поставленной задачи.

Учитывая срочность решения, я не смог обстоятельно его оформить, Тем не менее, общая идея решения представлена. Впредь, если Вам нужна помощь в решении подобной задачи, постарайтесь обращаться загодя, а не непосредственно перед зачётом.

С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 382281!
Схема решения задачи изложена а прикрепленном файле.

P.S. Во втором уравнении системы, из которой находятся постоянные C₁ и C₂, пропущена правая часть уравнения:
=A/T

P.P.S. В формулах для C₁, C₂ и v(x,t) величины [$969$] и a в числителе и знаменателе нужно поменять местами.