Здравствуйте.
УРЧП - так понимаю, уравнение в частных производных?

Верно.

https://rfpro.ru/upload/5925
Это решение,которое я сдал преподаваьтелю.
На что ответили следующее: "вас в ответе в бесконечной сумме слагаемое с номером k=1 равно бесконечности. Кроме того, ошибка в знаке в середине вычислений." Вопрос в следующем,что именно надо исправить и доделать?

Вы ответ мой смотрели?

http://www.orlovsky-mephi.narod.ru/courses.htm

Благодарю за списочек. Есть над чем помозговать...

"Рассуждения верны для конечной области. Для внешности круга - нет." (c) Или все -таки мой преподаватель,несведующий в данной области?

преподаватель,несведующ в данной области

Посмотрите,например, здесь:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD%D0%B0
http://www.math.asu.ru/users/~kravchenko/index.files/M5/ucheb.files/m5_ue-4.htm#4.2
http://mirslovarei.com/content_matenc/potenciala-teorija-65954html
http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question23.pdf

Посмотрите элементарный вывод для внешности круга в пркрепленном файле.

В условии этой задачи не указано поведение решения на бесконечности, которое может зависеть от постановки исходной физической задачи. Чтобы это показать, рассмотрим, например, следующую задачу.
Имеется длинный цилиндр единичного радиуса в теплопроводящей среде (теплопроводность равна 1), поверхность которого подогревается изнутри. Мощность, выделяющаяся на единицу поверхности цилиндра, задана и определяется формулой [$966$]*sin([$966$]). Требуется найти стационарное распределение температур вокруг цилиндра.

Вне цилиндра выполняется уравнение Лапласа, а выделяющаяся мощность определяет поток тепла и, следовательно, градиент температуры на поверхности, т.е. эта задача сводится к задаче, поставленной автором вопроса.

С физической точки зрения очевидно, что задача должна иметь решение. Чтобы его получить, нужно выбрать условие на бесконечности. Если никакого условия не задавать, получится слишком много решений из-за положительных степеней r. Требование ограниченности решения на бесконечности в этой задаче неприменимо - в этом случае решений нет. Подойдет, например, условие u(r, [$966$])/r [$8594$] 0 при r[$8594$][$8734$], оставляющее логарифмический член (см. следующий пост), так как для цилиндра, поверхность которого равномерно нагрета, распределение температур подчиняется логарифмическому закону.

Если требовать ограниченность на бесконечности, задача, поставленная автором вопроса, не имеет решения (см. ответ). Рассмотрим другое условие на бесконечности, когда u(r,[$966$])/r [$8594$] 0 при r [$8594$][$8734$]. Будем искать решение в виде:
u (r, [$966$]) = C + C₁ln(r) + [$8721$]_n=1^[$8734$] (A_nsin(n[$966$])/rⁿ + B_ncos(n[$966$])/rⁿ),
где C, C₁, A_n, B_n - некоторые постоянные, при любом их значении функция удовлетворяет уравнению Лапласа. Члены с положительными степенями r мы не выписали, так как они не согласуются с условием u(r,[$966$])/r [$8594$] 0. Остается определить коэффициенты, используя граничное условие.
Разложим в ряд Фурье граничную функцию f([$966$]) = [$966$]*sin([$966$]):
f([$966$]) = a0/2 + [$8721$]_n=1^[$8734$](a_n sin(n [$966$]) + b_n cos(n [$966$])),
a0 = (1/pi) [$8747$]₀^{2 pi} f([$966$]) d [$966$],
an = (1/pi) [$8747$]₀^{2 pi} f([$966$]) sin(n [$966$]) d [$966$],
bn = (1/pi) [$8747$]₀^{2 pi} f ([$966$]) cos(n [$966$]) d [$966$].
Вычисляя интегралы, находим
f([$966$]) = -1 + pi*sin([$966$]) - (1/2)cos([$966$]) + 2*[$8721$]_n=2^[$8734$] cos(n [$966$])/(n²-1).
Вычисляя du/dn = -du/dr при r=1 и сравнивая с предыдущей формулой, определим коэффициенты C₁, A_n, B_n. В результате получим:
u (r,[$966$]) = ln(r) + pi*sin([$966$])/r - (1/2)*cos([$966$])/r + 2*[$8721$]_n=2^[$8734$]cos(n*[$966$])/(rⁿ*n*(n² - 1)) + C,
где C - произвольная постоянная.

1) Вы по-прежнему путаете задачи, взятые из физики, и задачи, взятые из учебного курса математики.
2) Рассмотрим задачу Дирихле для внешности круга радиуса 1 с вашим условием на бесконечности и граничной функцией, равной нулю. У нее два решения:
u₁=0
u₂=ln r
Это неприемлемо для учебного курса математики с точки зрения корректности задач.
3)

С физической точки зрения очевидно, что задача должна иметь решение

Это давно опровергнутое заблуждение. Никакая математическая модель не адекватна физическому процессу, а появляется только в результате каких-то идеализирующих предположений. Поэтому факт существования физического процесса никогда не может служить доказательством существования решения математической задачи. Наоборот, существование решения математической задачи является критерием использования этой модели для описания физического процесса. Именно поэтому центральным пунктом исследования математических задач являются вопросы существования и единственности их решения.

Вы по-прежнему путаете задачи, взятые из физики, и задачи, взятые из учебного курса математики.

Я пытаюсь связать их между собой.

Рассмотрим задачу Дирихле для внешности круга радиуса 1 с вашим условием на бесконечности и граничной функцией, равной нулю. У нее два решения:
u1=0
u2=ln r
Это неприемлемо для учебного курса математики с точки зрения корректности задач.

Для задачи распространения тепла это решение совершенно верно. Если на поверхности длинного цилиндра единичного радиуса поддерживается температура T₀, общим решением будет:
T(r) = T₀ + C*ln(r).
Постоянная C определяется потоком тепла, идущего от цилиндра или от внешних удаленных источников тепла к цилиндру.

... факт существования физического процесса никогда не может служить доказательством существования решения математической задачи.

Полностью с Вами согласен. В слова "с физической точки зрения задача должна иметь решение", вкладывался всего лишь следующий смысл: математическая модель, не имеющая решений, для данной задачи не годится.

С уважением.

P.S. В дополнение добавлю, что в курсе уравнений математической физики единственность решения внешней задачи Неймана в классе ограниченных функций доказывается на основе принципа максимума, а не на основе обсуждения известных Вам решений типа lnr, r^[$177$]ncos n[$966$], r^[$177$]nsin n[$966$] (ни откуда не следует, что других решений нет). Эти решения хоть и появляются на основе эвристического метода Фурье, которое традиционно приводится на семинарских занятиях для обсуждения решения задачи "на пальцах", но сам метод Фурье обосновывается совсем из других соображений и важным моментом в его обосновании служит именно теорема единственности решения. Поэтому, пока не доказна теорема единственности решения в том классе, который Вы предложили, неизвестно, существует ли другое решение, которое Вашей формулой не дается, или нет. Поэтому, пока не доказана единственность решения в Вашем классе, это решение обоснованным считать нельзя.

Конечно, решение, которое я привел, эвристическое, оно просто сконструировано из известных функций. Мне следовало добавить, что его единственность не гарантируется.
Спасибо за разъяснения.