Здравствуйте, Посетитель - 349343!
1) Перепишем уравнение в виде:
(y - e^x) dx + (sin y + x) dy = 0
Покажем, что это уравнение является уравнением в полных дифференциалах:
[$8706$]/[$8706$]y(y- e^x) = [$8706$]/[$8706$]x(sin y + x) = 1,
а значит решение будет иметь вид: u(x, y) = C

Будем искать функцию u(x,y), полный дифференциал которой равен левой части дифференциального уравнения,
из соотношения [$8706$]/[$8706$]x = y - e^x

u(x, y) = [$8747$](y - e^x)dx + [$966$](y) = xy - e^x + [$966$](y)

Составим дифференциальное уравнение для определения функции [$966$](у):
x + d[$966$]/dy = sin y + x [$8658$] [$966$](y) = - cos y + C

Таким образом, u(x, y) = xy - e^x - cos y + C

а все решения исходного уравнения выражаются формулой xy - e^x - cos y = C

PS Теоретическая справка: URL >>

Здравствуйте, Посетитель - 349343!
4) Уравнение Бернулли. Умножаем уравнение на 3y²
3y²y'=3xy³+6x³
Делаем замену y³=z
z'=3xz+6x³ (линейное уравнение)

Сначала решаем однородное уравнение:
z'=3xz
dz/z=3xdx
ln|z|=(3/2)x²+const
z=Ce^{(3/2)x^2}
Далее используем метод вариации: z=C(x)e^{(3/2)x^2}:
C'(x)e^{(3/2)x^2}+3xC(x)e^{(3/2)x^2}=3xC(x)e^{(3/2)x^2}+6x³
C'(x)=6x³e^{(-3/2)x^2}
При вычислении интеграла сначала делаем замену u=x², а потом интегрируем по частям:
C(x)=6[$8747$]x³e^{(-3/2)x^2}dx=3[$8747$]ue^(-3/2)udu=
=-2ue^(-3/2)u+2[$8747$]e^(-3/2)udu=-2ue^(-3/2)u-(4/3)e^(-3/2)u+C=
=-2x²e^{-(3/2)x^2}-(4/3)^{e-(3/2)x^2}+C
Таким образом
z=-2x²-4/3+Ce^{(3/2)x^2}

Ответ: y=(-2x²-4/3+Ce^{(3/2)x^2})^1/3

Здравствуйте, Посетитель - 349343!

Третье уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Перепишем его следующим образом:
(2x + 3y - 1)dx - (y - 2)dy = 0. (1)

Положим x = u + a, y = v + b. Тогда из уравнения (1) получим
(2u + 3v + (2a + 3b - 1))du - (v + (b - 2))dv = 0. (2)

Подберём a и b так, чтобы выполнялись соотношения 2a + 3b - 1 = 0, b - 2 = 0. Это имеет место при b = 2, a = -2,5.

При найденных значениях a и b уравнение (2) преобразуется к виду
(2u + 3v)du - vdv = 0 (3)
- однородное дифференциальное уравнение.

Для решения уравнения (3) положим v = pu. Получим
(2u + 3pu)du - pu(pdu + udp) = 0,
2udu + 3pudu - p²udu - pu²dp = 0,
u(2du + 3pdu - p²du - pudp) = 0.

Если u = 0, то v = pu = 0, x = u + a = 0 - 2,5 = -2,5, y = v + b = 0 + 2 = 2; точка (-2,5; 2) - решение уравнения (1), не являющаяся, однако, решением исходного уравнения, потому что знаменатель y - 2 обращается в нуль.

Рассмотрим уравнение 2du + 3pdu - p²du - pudp = 0. Получим
(2 + 3p - p²)du = pudp,
du/u = pdp/(2 + 3p - p²),
du/u = -pdp/(p² - 3p - 2),
du/u = -pdp/(p² - 3p + (1,5)² - 4,25),
du/u = -pdp/((p - 1,5)² - 4,25),
du/u = -d(p - 1,5)/((p - 1,5)² - 4,25),
du/u = -d(p - 3/2)/((p - 3/2)² - (([$8730$]17)/2)²),
[$8747$]du/u = -[$8747$]d(p - 3/2)/((p - 3/2)² - (([$8730$]17)/2)²),
ln |u| = -1/[$8730$]17 [$149$] ln |(p - 3/2 - ([$8730$]17)/2)/(p - 3/2 + ([$8730$]17)/2)| - ln |C|,
ln |u| = 1/[$8730$]17 [$149$] ln |(p - 3/2 + ([$8730$]17)/2)/(p - 3/2 - ([$8730$]17)/2)| + ln |C|,
u = C((p - 3/2 + ([$8730$]17)/2)/(p - 3/2 - ([$8730$]17)/2))^1/[$8730$]17. (4)

Учитывая, что x = u + a = u - 5/2, y = v + b = v + 2, p = v/u = (y - 2)/(x + 5/2), из выражения (4) получим
x + 5/2 = C(((y - 2)/(x + 5/2) - (3 - [$8730$]17)/2)/((y - 2)/(x + 5/2) - (3 - [$8730$]17)/2))^1/[$8730$]17 - общий интеграл заданного уравнения.

Получилось весьма громоздкое выражение. Для проверки найденного решения я воспроизвёл выкладки два раза подряд. Ошибки не обнаружил...

С уважением.

Здравствуйте, Посетитель - 349343!
2 уравнение.

Будут вопросы обращайтесь в минифорум.
Удачи

Здравствуйте, Посетитель - 349343!
Второе уравнение