Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 182984
28.04.2011, 10:11
43.78 руб.
0 6 1
Образование
Здравствуйте! Требуется помощь в решении уравнений
1. 5x+12x=13x (Ответ x=2)
2. x2+25*x2/(x+5)2=11 (Ответ x=0.5*(1[$177$][$8730$]21))
Спасибо

Обсуждение

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
28.04.2011, 10:34
общий
Адресаты:
(5,12,13) - это известная тройка пифагоровых чисел. Согласно Великой теореме Ферма, решений в целых числах у подобных уравнений, кроме 2, нет.
Если требуется рассмотреть все вещественные числа, рассмотрим производные 5^x+12^x и 13^x
5^x+12^x = 13 13^x при x=2
ln 5 5^x+ln 12^x <ln 13 13^x при x=2
то есть вторая функция растет быстрее, и для любых больших значений ln 5 5^x+ln 12^x <ln 13 13^x
В общем, 5^x+12^x и 13^x - это две монотонно возрастающие возрастающие функции, которые могут пересекаться лишь в одной точке.
давно
lamed
Академик
320937
2216
28.04.2011, 10:48
общий
28.04.2011, 11:14
Адресаты:
Добрый день!
1. В вопросе не сказано, что в целых числах.
2. Такое доказательство я уже в интернете читал, но что-то не убедило. Естественно, график я построил в MathCAD, но нужно строгое доказательство. Это - ЕГЭ-шная задача
Цитата: Асмик Гаряка
ln 5 5^x+ln 12^x <ln 13 13^x при x=2
И что из этого?
Цитата: Асмик Гаряка
В общем, 5^x+12^x и 13^x - это две монотонно возрастающие возрастающие функции, которые могут пересекаться лишь в одной точке.

Не факт. Обе функции монотонно возрастают

Слышал, что если одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает...
С уважением
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
28.04.2011, 10:53
общий
Адресаты:
Тогда тоже с уважением.
Пусть решит кто-то более умный.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
28.04.2011, 12:15
общий
это ответ
Здравствуйте, lamed!
1) Делим уравнение на 13x
(5/13)x+(12/13)x=1
Слева стоит строго убывющая функция, поэтому уравнение не может иметь более одного решения. С другой стороны непосредственная проверка показывает, что x=2 решением является.

Ответ: x=2

2) Умножаем уравнение на (x+5)2 и упрощаем:
x4+10x3+39x2-110x-275=0
Далее используем метод неопределенных коэффициентов. Ищем разложение
x4+10x3+39x2-110x-275=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
Получаем систему
a+c=10
b+ac+d=39
bc+ad=-110
bd=-275
Ищем решение в целых числах. Начинаем с последнего уравнения bd=-275. Так как 275=5*5*11, то имеется не так много вариантов для перебора. Подходит
a=-1
b=-5
c=11
d=55

Решаем два квадратных уравнения:
1) x2-x-5=0 ---> x=0.5*(1±[$8730$]21)
2) x2+11x+55=0 D<0 решение нет

Ответ: x=0.5*(1±[$8730$]21)
5
Изящное решение. Большое спасибо, Дмитрий Германович! С уважением.
давно
lamed
Академик
320937
2216
28.04.2011, 13:04
общий
28.04.2011, 13:24
Адресаты:
Добрый день, Дмитрий Германович! Замечательное решение. Жаль,что сам не догадался. Спасибо.
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
28.04.2011, 13:13
общий
28.04.2011, 13:23
Адресаты:
В подтверждение решения Дмитрия Германовича, вот Вам график функции y = (5/13)x+(12/13)x

Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Форма ответа