Здравствуйте, John_the_Revelator!
Для вывода формулы объема тора воспользуемся принципом Кавальери:

Если две фигуры Ф1 и Ф2 можно расположить в пространстве так, что в сечениях их плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, полу­чаются фигуры F1 и F2 одинаковой площади, то объемы исходных пространственных фигур равны.

Итак, рассмотрим тор (рис. а) - фигуру, полученную вращением круга с центром в точке O, радиуса R относительно прямой a, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его (рис. б). Q - основание перпендикуляра, опущен­ного из точки O на прямую a, и пусть OQ=d.



Проведем плоскость [tnr][$945$][/tnr], перпендикулярную прямой a, на расстоянии x от точки Q (0[$8804$]x<R). Тогда в сечении тора этой плоскостью получим коль­цо, радиус внешнего круга которого равен d+[$8730$](R² - x²) (рис. б) AD=AC+CD, CD - катет прямоугольного треугольника OCD, CD = [$8730$](R² - x²), а внутреннего равен d - [$8730$](R² - x²) (AB=AC-BC). Поэтому площадь кольца равна

Рассмотрим цилиндр (рис. в), осью которого является прямая OQ, радиус ос­нования равен R, и высота равна 2[tnr][$960$][/tnr]d. Покажем, что тор и цилиндр удов­летворяют условиям Кавальери.

В сечении цилиндра плоскостью [tnr][$945$][/tnr] получается прямоугольник со сто­ронами 2[$8730$](R² - x²) и 2[tnr][$960$][/tnr]d. Поэтому пло­щадь прямоугольника равна 4[tnr][$960$][/tnr]d[$8730$](R² - x²), т.е. равна площади кольца. В си­лу принципа Кавальери, объем тора равен объему цилиндра. Таким обра­зом, получаем следующую формулу объема тора:
V = 2[tnr][$960$][/tnr]²R²d

Вернемся к нашей задаче. По условию, R = R₂ = 1, d = R₂ + R₁ = 7, тогда V = 14[tnr][$960$][/tnr]²