Здравствуйте, vera-nika!
6. Применяем преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (X(p) - преобразование Лапласа для решения x(t)). Получим
p[sup]2[/sup]X(p)-4X(p)=1/p[sup]2[/sup]-1/p. Выражая из этого алгебраического уравнения изображение решения X(p), получим

Для определения неизвестных коэффициентов A, B, C, D получим соотношение

Пусть p=0. Тогда сразу получим A=-1/4. Если p=2, то C=-1/16; при p=-2 имеем D=-3/16. Наконец, если p=1, то B=1/4.
Итак,

Теперь, переходя к оригиналу (к x(t)) и пользуясь свойствами (линейность) и таблицей изображений Лапласа
(1/p <-> 1; 1/p[sup]2[/sup] <-> t; 1/(p-2) <-> e[sup]2t[/sup]; 1/(p+2) <-> e[sup]-2t[/sup]),
получим решение


Решение задачи 2.
Интегрирование осуществляется по замкнутому контуру - окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Подинтегральная функция имеет полюса первого порядка (простые полюса) z=-2i и z=4i. Полюс z=4i не входит в область интегрирования (он лежит на мнимой оси y в точке y=4, что соответствует комплексному числу 4i). Согласно теореме Коши о вычетах, данный интеграл равен произведению вычета подинтегральной функции относительно полюса z=-2i на 2*pi*i. Находим вычет (Res f(-2i)) подинтегральной функции f(z)=sin z/((z+2i)(z-4i)) в точке z=-2i:

Теперь величина интеграла J, равна (с учетом, что sin(2i)=ish2=i(e²-e^-2)/2):


Задача 1. Видимо, должно быть z=x+iy, а ω=u(x,y)+ij(x,y) это ω=u(x,y)+iv(x,y).
Имеем iz²=i(x+iy)²=i((x²-y²)+2ixy)=-2xy+i(x²-y²).
Тогда f(z)=exp(-2xy+i(x²-y²))=e^-2xy e^i(x[sup]2-y²)[/sup]=
=e^-2xy(cos(x²-y²)+isin(x²-y²)).
Отсюда видно, что u(x,y)=e^-2xycos(x²-y²), v(x,y)=e^-2xysin(x²-y²).
Условия аналитичности функции f(z): u'_x=v'_y, u'_y=-v'_x. Проверим эти условия.




Как видно, условия Коши-Римана (условия аналитичности) выполняются. Следовательно функция является
аналитической и мы получим:

P.S. На самом деле, заданы две точки z₀, так как [$8730$]i есть два числа: [$8730$]i=+-[$8730$]2(1+i)/2.

Здравствуйте, vera-nika!

Решение первой задачи.



отсюда

Т.о., [$969$](z)=F(x,y)=u(x,y)+iv(x,y), где



Проверяем аналитичность полученной функции по условию Коши-Римана:


если данные условия будут выполнены, то тогда производная может быть представлена в следующем виде:


Вычисляем частные производные вещественных функций:





Т.о., условия Коши-Римана выполнены, т.е. функция является аналитической.

Определяем производную:


Представим заданную точку в тригонометрической форме.











Т.о., , где

Заметим, что

Отсюда:

Здравствуйте, vera-nika!
3) u(x,t)=u₁(x,t)+u₁(x,t), где
u₁(x,t)=0,5([$966$](x-at)+[$966$](x+at))=0,5(sin5(x-at)+sin5(x+at))=sin5x*cos5at
u₂(x,t)=(1/2a)[$8747$]_x-at^x+at[$968$]([$958$])d[$958$]=(1/2a)[$8747$]_x-at^x+at[$958$]d[$958$]=(1/4a)[$958$]²_x-at^x+at=((x+at)²-(x-at)²)/(4a)=xt

Ответ: u(x,t)=sin5x*cos5at+xt

Здравствуйте, vera-nika!

Предлагаю Вам решение пятого задания.



С уважением.

Здравствуйте, vera-nika!
Предлагаю решение 4 задачи:
u_t=4u_xx
u(x,0)=x+3
u(0,t)=u(1,t)=0
Решение.
Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от t, т.е.
u(x,t)=X(x)T(t).
Подставляя это выражение в уравнение
u_t=a²u_xx
имеем
X(x)T'(t)=a²X''(x)T(t).
Здесь a²=4. После деления на X(x)T(t) получим:
1/a²*T'(t)/T(t)=X''(x)/X(x).
Это равенство двух отношений, зависящих только от х и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу – [$955$]. ([$955$]>0):
1/a²*T'(t)/T(t)=X''(x)/X(x)= - [$955$]
т.е.
X''(x)+[$955$]X(x)=0
T'(t)+[$955$]*a²*T(t)=0
Первое уравнение системы с граничными условиями
X''(x)+[$955$]X(x)=0
X(0)=X(1)=0
представляет собой задачу Штурма-Лиувиля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора. Из общего решения уравнения
X(x)=A*cos([$8730$]([$955$]*x))+B*sin([$8730$]([$955$]*x))
использованием краевых условий
X(0)=A*cos(0)+B*sin(0)=A=0
X(1)=A*cos([$8730$]([$955$]))+B*sin([$8730$]([$955$]))=B*sin([$8730$]([$955$]))=0
находим собственные значения
[$955$]=[$955$]_n=(п*n)²
и собственные функции
X_n(x)=B_n*sin(n*п*x).
Второе уравнение системы
T'(t)+[$955$]*a²*T(t)=0
имеем решение
T(t)=C*e ^{-[$955$]*a^2*t}.
Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид
u_n(x,t)=X(x)T(t)=C_n*e ^{-(п*n*a)^2*t}*sin(п*n*x).
Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения:
u(x,t)=[$8721$]C_n*e ^{-(п*n*a)^2*t}*sin(п*n*x).
Подставляя сюда начальное условие
u(x,0)=[$8721$]C_n*sin(п*n*x)=x+3
Последняя формула показывает, что величины C_n являются коэффициентами разложения функции x+3 в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1):
C_n=2/l*₀¹[$8747$]f(x)sin(пnx/l)dx,
C_n=2*₀¹[$8747$](x+3)sin(пnx)dx
Интегрируя два раза по частям
C_n=2/(nп)*(4*( -1)ⁿ⁺¹+3)
Получим окончательный ответ
u(x,t)=[$8721$]2/(nп)*(4*( -1)ⁿ⁺¹+3)*e ^{-4(п*n)^2*t}*sin(п*n*x).
Текс ответа в прикрепленном файле.
Будут вопросы обращайтесь в мини-форум.
Удачи