Здравствуйте, Посетитель - 345351!

Отделение корней достигается построением эскиза графика функции f(x)=(x-2)²2^x-1.

Вычисляя производную, находим
f'(x)=2(x-2)2^x[1+((x/2)-1)ln2]
Ее нули: x=x*=2-2/ln2 (приближенно -0,89) и x=2.
При x<x* f'(x)>0, при x*<x<2 f'(x)<0, при x>2 f'(x)>0. Кроме того, предел f(x) на -[$8734$] равен -1, а на +[$8734$] равен +[$8734$].
Отсюда вытекает следующее.
1) На участке (-[$8734$];x*) f(x) возрастает от -1 до некоторого положительного значения f(x*) (оно положительно потому, что f(0)=3>0).
Следовательно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень. Вычисляя f(x) в целочисленных точках легко видить, что этот корень равен -6.
2) На участке (x*;2) f(x) убывает от положителього значения f(x*) до f(2)=-1.
Следовательно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень.
3) На участке (2;+[$8734$]) f(x) возрастает от -1 до +[$8734$].
Следовательно, на этом участке f(x) имеет ровно один корень.

Таким образом, f(x) имеет ровно 3 корня:
1) x=-6
2) в интервале (1;2) (поскольку f(1)=1>0).
3) в интервале (2;3) (поскольку f(3)=7>0).


Выбор промежутка для итерационных методов:

Для применимости итерационных методов достаточно знакопостоянство первой и второй производных на выбираемом участке. Дополнительно (для оценки погрешности) нужно еще оценить минимум модуля первой производной. Вычисляя вторую производную, находим
f''(x)=2^x[x²ln²2+4(1-ln²2)x+2-8ln2+4ln²2]
Таким образом, исследование знака f''(x) сводится к нахождению корней квадратного уравнения. С помощью например, калькулятора, проверяем, что на отрезке [1;2] лежит ровно один корень, приближенно равный 1,15.

Далее отыскиваем ближайшие точки смены знака функции f(x). Простым подбором определяем, что при x=1,2 f(x)>0, а при x=1,4 f(x)<0. Следовательно, отрезок [1,2;1,4] удовлетворяет нашим условиям.

Остается оценить первую производную на этом отрезке. Так на нем f''(x)>0, а f'(x)<0, то минимуи |f'(x)| достигается при x=1,4. Простое использование калькулятора дает оценку |f'(1,4)|>2,5.

Метод Ньютона.
f(x)=(x-2)²2^x-1

Выбираем отрезок [1,2;1,4]. На этом отрезке легко оценить первую производную |f'(x)|>=2,5 (а сама производная знакопостоянна - отрицательна). На этом же отрезке вторая производная положительна. Это обеспечивает применимость метода Ньютона. Погрешность оцениваем по известной формуле: |x-x₀|<=|f(x)|/min|f'(x)|<d=0,4|f(x)|.

Нулевое приближение x₀=1,2; d=0,18813
Первое приближение x₁=x₀-f(x₀)/f'(x₀)=1,377038; d=0,00319
Второе приближение x₂=x₁-f(x₁)/f'(x₁)=1,38018; d=2,37E-6

Заданная точность достигнута, приближенное значение x=1,3801


Метод итераций.
Уравнение f(x)=0 удобно занисать в виде x=x+f(x)/3. Оценка погрешности проводится так же, как и в методе Ньютона.
Итерации определяются формулой:
x_n+1=x_n+f(x_n)/3):

n=0 x₀=1,2 d=0,18813
n=1 x₁=1,35678 d=0,02385
n=2 x₂=1,37665 d=0,00358
n=3 x₃=1,37964 d=0,00055
n=4 x₄=1,38010 d=8,6E-5

Заданная точность достигнута. Приближенное значение x=1,3801

Метод половинного деления. Точность оцениваем по той же формуле.
a,b - концы отрезка (номер приближения n опускается) x=(a+b)/2

n=1 a:=1.2; b:=1.4; x=1,3 d=0,082618
n=2 a:=1.3; b:=1.4; x=1,35 d=0,03080
n=3 a:=1.35; b:=1.4; x=1,375 d=0,00526
n=4 a:=1,375; b:=1.4; x=1,3875 d=0,007399
n=5 a:=1,375; b:=1,3875; x=1,38125 d=0,00108
n=6 a:=1,375; b:=1,38125; x=1,378125 d=0,002099
n=7 a:=1,378125; b:=1,38125; x=1,3796875 d=0,000515
n=8 a:=1,3796875; b:=1,38125; x=1,38046875 d=-0,00029
n=9 a:=1,3796875; b=1,38046875; x=1,380078125 d=0,00011
n=10 a:=1,380078125; b=1,38046875; x=1,3802734375 d=8,848E-5
n=11 a:=1,380078125; b=1,3802734375; x=1,38017578125 d=1,049E-5

Заданная точность достигнута. Приближенное значение x=1,3801