Здравствуйте, sir Henry!

Полагаю, что возможной причиной Ваших затруднений является отсутствие времени для ознакомления с основными сведениями по полям и многочленам. Рекомендовал бы Вам, несмотря на всё, прочитать материал, изложенный на страницах 266 - 276 классического учебника А. Г. Куроша "Курс высшей алгебры" (М.: Наука, 1971).

Простейший пример кольца Вы привели сами. Это множество, состоящее из чисел -1, 0, 1. Но нельзя не согласиться с тем, что написал в мини-форуме вопроса эксперт Абаянцев Юрий Леонидович: "Извините, но это множество будет кольцом только при условии, что вы зададите условия для операций (-1)+(-1) и 1+1. Т.к. при использовании нормальной арифметики результат выходит за пределы множества.

Кстати, простейшее кольцо - это мн-во {0}. При этом оно еще характеризуется тем, что нейтральный элемент по сложению совпадает с нейтральным элементом по умножению.

Кольцом будет мн-во {-1, 0, 1} при условии, что это остатки от деления на 3 (кольцо вычетов по модулю 3). Вообще, любое мн-во остатков от деления на n будет кольцом (кольцо вычетов по модулю n). Если n - простое, то такое кольцо будет полем".

Прежде чем перейти к примерам колец, обращаю Ваше внимание на то, что система всех рациональных чисел (а также системы всех комплексных и всех действительных чисел) обладают тем свойством, что в каждой из них не только сложение и умножение, но и вычитание можно выполнять, оставаясь в пределах самОй этой системы. Это свойство указанных числовых систем отличает их, например, от системы положительных целых или положительных действительных чисел.

Теперь переходим к примерам.

ВСЯКАЯ СИСТЕМА ЧИСЕЛ, СОДЕРЖАЩАЯ СУММУ, РАЗНОСТЬ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ЛЮБЫХ СВОИХ ЧИСЕЛ, является ЧИСЛОВЫМ КОЛЬЦОМ.

Следовательно, если имеющееся в Вашем распоряжении множество чисел удовлетворяет данному условию, то оно является числовым кольцом. Пока мы ведём речь о ЧИСЛОВЫХ КОЛЬЦАХ.

В частности, никакая система положительных чисел не будет кольцом, потому что если a и b - два различных положительных числа, то либо a - b, либо b - a отрицательно. Никакая система отрицательных чисел тоже не будет кольцом, ведь, например, произведение двух отрицательных чисел положительно.

Вопрос о существовании нулевого и единичного элементов в кольце заслуживает отдельного рассмотрения. Так, например, эксперт Гаряка Асмик написала в мини-форуме: "В данной Вам теории не хватает той аксиомы, что в кольце должны быть 0 и 1". Уточняя, замечу, что это утверждение не является аксиомой. Например, на с. 274 "Курса высшей алгебры" относительно нуля сказано так: "Всякое кольцо R обладает однозначно определённым элементом, сумма которого с любым элементом a этого кольца равна a. Будем называть этот элемент нулём кольца R...". Само же утверждение доказывается автором на предыдущей странице книги. А в примере кольца {0} сам элемент кольца является мультипликативной единицей...

Хорошо было написано экспертом Гарякой Асмик: "Если к выше разбираемому множеству {-1,0,1} Добавить хотя бы 2, значит, в нем должна быть и сумма 1+2, то есть 3. А если есть 3, должно быть и 4. То есть мы должны будем включить в множество все целые числа.
Множество остатков от деления по модулю 3 будет кольцом. Для простоты определим их как {0,1,2}
Сложение определим как
1+2=0
2+2=1
Для 1 обратный элемент 2.
Остальные как обычно".

Будут вопросы - обращайтесь.

С уважением.