Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 182134
07.02.2011, 18:01
0.00 руб.
0 7 2
Образование
Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите решить следующую задачу.
Найти натуральное решение уравнения: 1/x + 1/y + 1/z = 1

Обсуждение

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
07.02.2011, 18:05
общий
это ответ
Здравствуйте, Protos!

Решим задачу перебором.
Расположим x,y,z в порядке возрастания.
Может ли быть x>3?
Нет, потому что 3/4<1
Если x=3 1/y+1/z=2/3, и если y>3 или z>3, это опять невозможно.
Следовательно, при x=3 возможно только решение x=3 y=3 z=3.
При x=2 получаем уравнение /y+1/z=1/2
Если y=3, то z=6
Если y=4, то z=4
При болших значениях y 1/y<1/4 и 1/z <1/4, и /y+1/z<1/2
Получаем следующие решения задачи.
x=3 y=3 z=3
x=2 y=4 z=4
x=2 y=3 z=6
Остальные решения можно получить перестановкой значений переменных.
5
Неизвестный
07.02.2011, 18:21
общий
Адресаты:
Оно, конечно, спасибо за ответы. Вот если бы еще решение .
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
07.02.2011, 18:24
общий
Перебором.
давно
Сергей Бендер
Профессионал
304622
583
07.02.2011, 18:54
общий
Адресаты:
Цитата: Асмик Гаряка
Перебором.


Хм-м! Здравый смысл, кончено, подсказывает, что комбинации вроде 23, 34, 40 рассматривать не надо. А вот любопытно, как формально описать ограничение на возможные комбинации. Как-то через неравенство треугольника.
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
07.02.2011, 19:01
общий
Адресаты:
Расположим x,y,z в порядке возрастания.
Может ли быть x>3?
Нет, потому что 3/4<1
Если x=3 1/y+1/z=2/3, и если y>3 z>3 это опять невозможно.
Да, данному соотношению удовлетворяют тангенсы треугольника. Первое решение - равносторонний.

давно
Тихонова Тамара Александровна
Специалист
398889
185
08.02.2011, 03:03
общий
это ответ
Здравствуйте, Protos!
1.docx (13.7 кб)
давно
Тихонова Тамара Александровна
Специалист
398889
185
08.02.2011, 03:09
общий
Вот я нашла решение
1/x+1/y+1/z=1;
Решить уравнение в натуральных числах - значит найти все его решения, в которых неизвестные принимают натуральные значения. Сплошным перебором, рассматривая все тройки натуральных чисел по отдельности, решить эту задачу вообще невозможно: таких троек бесконечно много. Поэтому, прежде чем приступить к перебору, необходимо как-то свести дело к конечному числу случаев. Нам будет удобнее провести перебор, если мы чуть-чуть изменим условие задачи.
Задача 1’
Решите в натуральных числах систему:
1/x+1/y+1/z=1;
х≤y≤z
Очевидно,
1/x≥1/y≥1/zЕсли y > 3 , то
Предположим сначала, что х>3. Тогда
1/3>1/x≥1/y≥1/z, откуда 1/x+1/y+1/z<1/3+1/3+1/3
что противоречит условию. Итак, х не может равняться ничему иному, кроме 1, 2 и 3.
1) х=1. Тогда 1/y+1/z=0- противоречит условию
2) х=2. Тогда 1/y+1/z=1/2, Если y > 4, то 1/4>1/y≥1/z, откуда 1/y+1/z<1/4+1/4
чего не может быть. Итак, у не может равняться ничему иному, кроме 2, 3 и 4. Подставляя каждое из этих значений, убеждаемся, что у=2 не годится, а два другие значения дают два ответа: (2, 3, 6) и (2, 4, 4).


3) x=3. Тогда 1/y+1/z=2/3, Если y > 3 , то 1/3>1/y≥1/z, откуда 1/y+1/z<1/3+1/3
чего не может быть.
Итак, в данном случае надо рассмотреть для у только одно значение 3, что дает еще один ответ: (3, 3, 3).
Все случаи разобраны. Задача 1' решена.
Она имеет три ответа: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3).

Исходная задача имеет другой список ответов, получающихся из этих всевозможными перестановками. Вот её ответ:
(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6), (3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2),
(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (3, 3, 3). (В каждом из этих ответов первое число - значение х, второе - значение у, третье - значение z.) Источник http://www.maplematica.narod.ru/kvant8801.files/club8801.htm
Форма ответа