Здравствуйте, Козловский Константин Викторович!
Имеем функцию y = 4x
2 / ( 3 + x
2 )
Нули функции: х = 0;
1) Область определения:
3 + x
2 ≠ 0. Это выполняется при всех действительных значениях x, а следовательно D(y) = R
2) Область значений:
Как видно из уравнения, х принимает только положительные значения, а значит E(y) = [0 ; +∞)
3) Четность / нечетность:
Проверяем четность
4x
2 / ( 3+x
2 ) = 4(-x)
2 / ( 3+(-x)
2 ) ⇒ 4x
2 / ( 3+x
2) = 4x
2 / ( 3+x
2) ⇒ f(x) = f(-x), т.е. функция четная.
4) Экстремумы ( минимум / максимум ):
Для этого нужно найти производную функции. Но для начала упростим ее
4x
2 / ( 3+x
2 ) = ( 4x
2+12-12 ) / ( 3+x
2 ) = ( 4 ( x
2+3 ) - 12 ) / ( 3+x
2 ) = 4 - 12/( 3+x
2 )
[ 4 - 12/( 3+x
2 ) ]' = 24x / ( 3+x
2 )
2При х=0 f'(x)=0, Следовательно нужно найти вторую производную
[ 4 - 12/( 3+x
2 ) ]'' = [ 24x / ( 3+x
2 )
2 ]' = ( 24( 3+x
2 )
2 - 96x
2⋅( 3+x
2 )
2 ) / ( 3+x
2 )
4 = ( 1-4x
2 ) / ( 3+x
2 )
2При х=0 f''(x) > 0, Следовательно x=0 - минимум функции.
5) Монотонность:
Как видно из рисунка, функция убывает на промежутке (-[$8734$]; 0) и возрастает на промежутке (0; +[$8734$])
6) Асимптоты:
y = a являетсия асимптотой, если:
7) График функции: