Здравствуйте, Magma!
1) y''+4y'+3y=0
Составим характеристическое уравнение.
k²+4k+3=0
Решая это квадратное уравнение находим что
k₁=-3 k₂=-1
Корни характеристического уравнения числа вещественные и не равные между собой.
у₁=е^-3x y₂=e^-x
Общим решением будет:
у=С₁е^-3x +С₂e^-x

2) 2y''+5y'+2y=0
Составим характеристическое уравнение.
2k²+5k+2=0
Это уравнение решается через дискриминант
Д=25-4*2*2=9
k₁=(-5+3)/4=-1/2 k₂=(-5-3)/2=-2
Корни характеристического уравнения числа вещественные и не равные между собой.
у₁=е^-0.5x y₂=e^-2x
Общим решением будет:
у=С₁е^-0.5x +С₂e^-2x

4) y'''- 8y=0
Составим характеристическое уравнение.
k³-8=0
Решая это кубическое уравнение находим что
k₁=k₂=k₃=2
Корни характеристического уравнения числа вещественные и равные между собой. Имеем:
у₁=е^2x y₂=xе^2x y₃=x²е^2x
Общим решением будет:
у=С₁е^2x +С₂xе^2x+C₃x²е^2x

Здравствуйте, Magma!

Рассмотрим третье уравнение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
λ² + 2λ + 10 = 0, D = 2² – 4 • 1 • 10 = -36 = 36i², √D = 6i, λ₁ = (-2 – 6i)/2 = -1 – 3i, λ₂ = (-2 + 6i)/2 = -1 + 3i.

Корни характеристического уравнения простые и представляют собой комплексно сопряжённые числа, поэтому общее решение заданного уравнения имеет следующий вид:
y = e^-x(C₁cos 3x + C₂sin 3x).

Ответ: y = e^-x(C₁cos 3x + C₂sin 3x).

Рассмотрим пятое уравнение. Составим характеристическое уравнение и решим его:
λ⁴ + 4 = 0, λ⁴ = -4 = 4(-1 + i • 0) = 4(cos п + i • sin п),
λ1 = √2(cos п/4 + i • sin п/4) = 1 + i,
λ2 = √2(cos (п + 2π)/4 + i • sin (п + 2π)/4) = √2(cos 3π/4 + i • sin 3π/4) = -1 + i,
λ3 = √2(cos (п + 4π)/4 + i • sin (п + 4π)/4) = √2(cos 5π/4 + i • sin 5π/4) = -1 - i,
λ4 = √2(cos (п + 6π)/4 + i • sin (п + 6π)/4) = √2(cos 7п/4 + i • sin 7π/4) = 1 - i.

Корни характеристического уравнения простые и представляют собой две пары комплексно сопряжённых чисел, поэтому общее решение заданного уравнения имеет следующий вид:
y = e^x(C₁cos x + C₂sin x) + e^-x(C₃cos x + C₄sin x).

Ответ: y = e^x(C₁cos x + C₂sin x) + e^-x(C₃cos x + C₄sin x).

С уважением.

Здравствуйте, Magma!

4) y'''-8y=0

Составим характеристическое уравнение.
k³-8=0; Отсюда:

k³-8=k³-2³=(k-2)(k²+2k+4)=0

k₁=2; (k²+2k+4)=0

D=4-16=-12; k_2,3=(-2[$177$][$8730$](-12))/2=-1[$177$]i[$8730$]3
y₁=C₁e^2x; y₂=e^-x(C₂cosx[$8730$]3+C₃sinx[$8730$]3)
y=C₁e^2x+e^-x(C₂cosx[$8730$]3+C₃sinx[$8730$]3)

Удачи Вам