Здравствуйте, LfiN!

1. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, получим
- для прямой AB
(x – x_A)/(x_B – x_A) = (y – y_A)/(y_B – y_A), или
(x – (-5))/(4 – (-5)) = (y – 6)/(-6 – 6),
(x + 5)/9 = (y – 6)/(-12),
-12(x + 5) = 9(y – 6),
-4(x + 5) = 3(y – 6),
-4x – 20 = 3y – 18,
-4x – 3y – 20 + 18 = 0,
-4x – 3y – 2 = 0,
4x + 3y + 2 = 0 – общее уравнение прямой AB,
3y = -4x – 2,
y = (-4/3)x – 2/3 – уравнение прямой AB с угловым коэффициентом;

- для прямой BC
(x – x_B)/(x_C – x_B) = (y – y_B)/(y_C – y_B), или
(x – 4)/(9 – 4) = (y – (-6))/(4 – (-6)),
(x – 4)/5 = (y + 6)/10,
10(x – 4) = 5(y + 6),
2(x – 4) = y + 6,
2x – 8 = y + 6,
2x – y – 8 – 6 = 0,
2x – y – 14 = 0 – общее уравнение прямой BC,
y = 2x – 14 – уравнение прямой BC с угловым коэффициентом.

2. Угол при вершине A – это угол между прямыми AB и AC. Его можно найти, зная угловые коэффициенты прямых AB и AC. Выведем соответствующее уравнение прямой AC:
(x – x_A)/(x_C – x_A) = (y – y_A)/(y_C – y_A), или
(x – (-5))/(9 – (-5)) = (y – 6)/(4 – 6),
(x + 5)/14 = (y – 6)/(-2),
-2(x + 5) = 14(y – 6),
-(x + 5) = 7(y – 6),
-x – 5 = 7y – 42,
-x – 7y – 5 + 42 = 0,
-x – 7y + 37 = 0
7y = -x + 37,
y = (-1/7)x + 37/7 – уравнение прямой AC с угловым коэффициентом.

Полагая k₁ = -4/3, k₂ = -1/7, находим угол A между прямыми AB и AC:
∟A = arctg (k₂ – k₁)/(1 + k₁k₂) = arctg (-1/7 – (-4/3))/(1 + (-1/7)(-4/3)) = arctg (-3/21 + 28/21)/(1 + 4/21) =
= arctg (25/21)/(25/21) = arctg 1 = 45º.

Если изобразить треугольник, то можно убедиться, что найденный острый угол является действительно углом при вершине A треугольника ABC (рисунок).



3. Высота CE перпендикулярна к прямой AB и проходит через точку C. Из условия перпендикулярности следует, что угловой коэффициент прямой CE равен k = -1/k₁ = -1/(-4/3) = 3/4. Координаты точки C должны удовлетворять уравнению прямой CE, т. е.
y – y_C = (3/4)(x – x_C), или
y – 4 = (3/4)(x – 9),
y – 4 = (3/4)x – 27/4,
y = (3/4)x – 27/4 + 4,
y = (3/4)x – 11/4 – уравнение высоты CE с угловым коэффициентом,
4y = 3x – 11,
3x – 4y – 11 = 0 – общее уравнение высоты CE.

4. Длина высоты CE – это расстояние от точки C до прямой AB, которое можно найти, например, воспользовавшись известной формулой для нахождения расстояния от точки, заданной своими координатами, до прямой, заданной общим уравнением:
|CE| = |4 • 9 + 3 • 4 + 2|/√(4² + 3²) = 10.

С уважением.

Здравствуйте, LfiN!

А(-5;6), В(4;-6), С(9;4)

1.
Тогда для точки B имеем:


Тогда для точки B имеем:

(AB): ; (BC):

2.






3) Составить уравнение высоты СЕ
4) Найти длину высоты СЕ
Пусть
Тогда
Т.к.

Кроме этого, т.к. , то координаты точки E удовлетворяют уравнению прямой (AB), т.е.


Отсюда y = -2.

Т.о., точка E имеет координаты (1; -2), а вектор
Длина высоты CE равна

Т.о., уравнение высоты CE выглядит так: , а ее длина равна 10.