Здравствуйте, Scorp!

Я в таких вещах не очень силён, но можно попробовать вот что:
1. Удалить кукисы из браузера (меню -> настройки -> общие настройки -> расширенные -> Cookies -> Управление Cookies -> выделите "mail.ru" -> удалить)
2. Проверить, не блокирует ли фаервол или брандмауэр соединение с mail.ru для этой программы
Удачи!

Здравствуйте, Scorp!
1) Это так называемая помощь на mail.ru, ещё раз проверьте работу, учитывая,

Постоянный запрос авторизации
Если при входе в почтовый ящик у Вас постоянно запрашивается авторизация, обновите страницу Вашего браузера при помощи клавиш Ctrl+F5.
Если это Вам не помогло, очистите кэш Вашего интернет-браузера — http://www.mail.ru/pages/help/30283.html
Попробуйте также отключить флаги на странице безопасности:
http://win.mail.ru/cgi-bin/security
«Сессия только с одного IP-адреса»

2)Если это происходить только с одним браузером, то есть Opera , то нужно просто начисто удалить его и установить заново! Опера при удалении из системы оставляет много "мусора", который при установке новой Оперы подхватывается ею. Особенно много этого "мусора" при обновлении браузера "поверх" старой версии.
Поэтому, наверное, Вам надо повторить удаление браузера Opera ещё раз, но уже начисто! Притом не используя "чистилки" реестра, а ручками самому, найдя по маске. Это недолго. И удалить папки в профиле. При необходимости можете сохранить нужные Вам папки, да хоть путем переименования.
На всякий случай приведу пути (пример дан для расположения операционной системы на С:, папка профиля — User), вы из можете увидеть, набрав в адресной строке opera:about
Настройки:
C:\Documents and Settings\User\Application Data\Opera\Opera\operaprefs.ini
Сохранённый сеанс:
C:\Documents and Settings\User\Application Data\Opera\Opera\sessions\autopera.win
Закладки:
C:\Documents and Settings\User\Application Data\Opera\Opera\bookmarks.adr
Все эти настройки в этой папке --- Папка Opera:
C:\Documents and Settings\User\Application Data\Opera\Opera
Это ещё одна папка --- C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Application Data\Opera
там имеются соответствующие папки:
Кэш:
C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Application Data\Opera\Opera\cache
Документы справки:
C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Application Data\Opera\Opera\opcache
Папка почты:
C:\Documents and Settings\User\Local Settings\Application Data\Opera\Opera\mail
Плагины:
C:\Program Files\Opera\program\plugins
C:\Program Files\Java\jre6\bin\new_plugin
Папка пользовательских файлов CSS:
C:\Documents and Settings\User\Application Data\Opera\Opera\styles\user

3)Может дистибутив плохой, так замените, скачайте другой. хоть от сих, предидущие, стабильно работающие версии, типа 10.10.
Проверьте ваш компьютер утилитой AVZ. Затем исследуйте систему и воспользуйтесь восстановлением системы, функций AVZ, которая позволяет восстановить ряд системных настроек.
Уберите галочки напротив всех программ в автозапуске(msconfig), оставив только ctfmon, также остановите ваши процессы(процессы пользователя), контролируя этим - Программа Process Explorer для Windows (версия 12.04) Автор: Марк Руссинович (Mark Russinovich)
Так сказать сожмите кольцо вокруг opera

4) Надо же , столько движений из-за браузера, не желающего работать нормально. Как говорят, "Против лома нет приёма, если нет другого лома". Создайте новую учётную запись в операционной системе и начните жизнь заново. Думаю, дистрибутивы многих программ у Вас сохранены, в крайнем случае можно скачать на оф.сайтах. По настройкам сложнее, не удаляйте, некоторое время, старую учётную запись в операционной системе, может нужно будет вытащить настройки какой либо из программ.

5) Против таких случаев существует средство — образ операционной системы, со всеми драйверами (если не менялось "железо") и установленных минимум самых необходимых программ. Понятно, в том числе и любимый браузер.

6) Попробуйте использовать временно, для проверки версию, используемую без установки на винчестер, смотри тут или тут . Если Вы не часто используете этот браузер, то это может быть вариантом использования.
И, наверное, последний по этому вопросу, Вам совет, без номера . Версии браузера Opera "пекутся" как блины, не успеваешь уследить, и самое главное, не всегда без недостатков. Сам работаю с этим браузером достаточно длительное время на одной из стабильной версии. Далее, не устанавливайте новую версию поверх старой. Старайтесь не использовать "чистильщиков" и др. оптимизаторы, конечно, без особой надобности. И до кучи, проверьте, внимательно, свой ESET Smart Security 4.
Удачи Вам!