Здравствуйте, овечкина наталья александровна! При построении предложений с деепричастными оборотами необходимо руководствоваться правилом: основное действие, которое передаётся глаголом, и добавочное действие, которое передаётся деепричастием, должны быть совершены одним и тем же субъектом.
1) Занимаясь в секции, у мальчика оставалось мало времени.(субъект действия для деепричастия - мальчик, для сказуемого субъекта нет, т.к. оно выражено безличным глаголом)
Правильный вариант: Занимаяь в секции, мальчик почти не имел свободного времени.
2) Слушая эти сообщения, меня все время сверлила одна мысль.(субъект для деепричастия - некто, для сказуемого - мысль)
Правильный вариант: Слушая эти сообщения, я всё время думал об одном.// Когда я слушал эти сообщения, меня всё время сверлила одна мысль.
3) Опустив удильник, блесна с более утолщенным слоем олова не падает отвесно, а уходит в сторону. (субъект для деепричастия - некто, для сказуемого - блесна)
Правильный вариант: Когда отпустишь удильник, блесна .... не падает отвесно, а уходит в сторону.
4) Двигая валик в различных направлениях, лак равномерно распределяется по поверхности. (субъект деепричастия - некто, сказуемого - лак)
Правильный вариант: Когда двигаешь валик в различных направлениях, лак равномерны распределяется по поверхности.
5) Ограничившись первыми двумя членами уравнения, получается линейная зависимость. (субъект деепричастия - некто, сказуемого - линейная зависимоть)
Правильный вариант: Ограничившись первыми двумя членами уравнения, получишь линейную зависимоть.
6) Еще находясь в пути в комфортабельном вагоне, туристов по радио знакомят с городом, его историческими и архитектурными памятниками. (субъект для деепричастия - туристы, для сказуемого - некто они)
Правильный вариант: Ещё находясь в пути в комфортабельном вагоне, туристы через передачи по радио знакомятся с городом, его историческими и архитектурными памятниками.

Здравствуйте, овечкина наталья александровна!

Отредактированные предложения:
При занятиях в секции у мальчика оставалось мало времени=Занимаясь в секции, мальчика имел мало времени.
При прослушивании этих сообщений меня все время сверлила одна мысль=Слушая эти сообщения, я все время терзалась одной мыслью.
При опускании удильника блесна с более утолщенным слоем олова не падает отвесно, а уходит в сторону.
При движениях валиком в различных направлениях лак равномерно распределяется по поверхности=Двигая валик в различных направлениях, мы лак равномерно распределяем по поверхности.
При ограничении первыми двумя членами уравнения получается линейная зависимость=Ограничившись первыми двумя членами уравнения, получим линейную зависимость.
Еще в пути в комфортабельном вагоне туристов по радио знакомят с городом, его историческими и архитектурными памятниками=Еще находясь в пути в комфортабельном вагоне, туристы по радио знакомятся с городом, его историческими и архитектурными памятниками.
Ошибки состоят в ошибочном использовании субъекта действия.