Здравствуйте, Людмила.
Хочу дополнить ответ F®osta
В настройках пункт “Общие”- “ImproveNet” в разделе “Автосоздание правил” в выпадающем меню выберите “Автоматически создавать и обновлять правила” и поставьте галочку “Автоматически создавать правила для приложений, подписанных доверенными разработчиками”. Галочку “Оповещать о применении правил " на ваше усмотрение, лично я не ставлю.
Я конкретно для вашего случая на чистой системе установил пробные версии Outpost и Avira.
Для процесса avwebgrd.exe создал правила на основе стандартных –"browser"
Для процессов avnotify.exe и sched.exe создал правила на основе стандартных –“другие”(согласился с предложенными). Обратите внимание, что удаленный адрес к которому обращаются данные процессы (практически все кроме avwebgrd.exe) - 127.0.01. Это так называемый loopback (http://ru.wikipedia.org/wiki/Loopback). Обращение на этот адрес – это обращение к внутреннему адресу вашего компьютера.
Вот цитата из помощи по Avira:

Мой брандмауэр сообщает об AntiVir Guard, как только они становятся
активными.
Причина: Соединение с программой AntiVir Guard производится через
протокол TCP/IP. Брандмауэр отслеживает все соединения,
производящиеся по этому протоколу.
Установите разрешение для AntiVir Guard. AntiVir Guard
функционирует только с адресом 127.0.0.1 (local host). Не устанавливается
соединение с Интернет.

Кроме того в правилах для приложения на вкладке Anti-leak вы можете параметр “Запуск сетевого приложения” выставить в значение “Разрешать”

“Outpost никак не желает видеть в авире сетевое приложение, что собственно и пишет при запросах, " не сетевое приложение пытается сделать DNS-запрос, как-то так.”

К сожалению у меня такое сообщение не появлялось. Если, несмотря на вышеприведенные советы, оно будет появляться и далее, попробуйте в правилах для приложения на вкладке Anti-leak выставить параметр “Вызов DNS API ” выставить в значение “Разрешать”

Здравствуйте, Людмила.
Так скачайте руководство здесь( на свою версию) и вперёд настраивать.

5.3 Настройка сетевого доступа для приложений
Один из основных принципов работы Outpost Firewall Pro - предоставление доступа к сети процессам и приложениям согласно действующим правилам для приложений. Это позволяет задать гибкий доступ к сети и гарантирует, что ни один из процессов не получит неавторизованного доступа в сеть (т.е. доступа, не определенного ни одним из действующих правил). Outpost Firewall Pro создает список установленных приложений и автоматически устанавливает для них правила, но также предусматривает возможность модифицировать список приложений и правила для приложений вручную. Более подробную информацию см. в соответствующих разделах.

5.3.1 Настройка списка приложений
Во время создания конфигурации Outpost Firewall Pro обнаруживаются все установленные приложения и создаются правила для известных приложений согласно предварительно заданным настройкам. Чтобы просмотреть список обнаруженных приложений, щелкните кнопку Настройки на панели инструментов и выберите страницу Правила для приложений:

Для каждого приложения отображаются два столбца со значками, обозначающими тип правил, применяющихся к приложению брандмауэром (Сетевые) и модулем Локальная безопасность (Anti-Leak). Зеленый цвет значка означает, что соответствующим компонентом к данному приложению применяются только разрешающие правила; красный символизирует только запрещающие правила; желтый говорит о том, что доступ для этого приложения определяется обоими типами правил; отсутствие значка означает отсутствие правил, применяемых к данному приложению соответствующим компонентом. Также вы можете управлять списком приложений, добавляя приложения вручную и удаляя их. Для того, чтобы добавить приложение, щелкните кнопку [b]Добавить.[/b] Вам будет предложено найти исполняемый файл приложения в появившемся окне. Найдите его и щелкните [b]Открыть[/b], после чего файл появится в списке. ...

Или же попробуйте включить Outpost в режим обучения и затем пошлите Avira за обновлением.