Здравствуйте, MrSpencer.

Уточним f(x). Площадь треугольника должна быть равна 1, следовательно f(1)=1.
Уравнение прямой, проходящей через точки (-1;0) и (1;1) -> f(x)=(x+1)/2
Получим
f(x)={0,x<-1
(x+1)/2, -1[$8804$]x<1
0,x[$8805$]1}

m_y=M(y(x))=[$8747$]_-[$8734$]^[$8734$]y(x)*f(x)dx=[$8747$]_-1¹(1-x²)*((x+1)/2)dx=(1/2)*[$8747$]_-1¹(x-x³+1-x²)dx=2/3

d_y=[$8747$]_-[$8734$]^[$8734$](y(x)-m_y)²*f(x)dx=[$8747$]_-1¹(1-x²-2/3)²*((x+1)/2)dx=4/45

Т.е. для m_y и d_y используются формулы m_x и d_x для случайной величины x, в которых вместо x ставится y(x).

Здравствуйте, MrSpencer.

Задана плотность f(x) распределения случайной величины X. Случайная величина Y связана со случайной величиной X зависимостью Y = 1 – X². Требуется найти математическое ожидание M(Y) случайной величины Y (двумя способами) и ее дисперсию D(Y).

Рассмотрим сначала плотность f(x) распределения случайной величины x. Площадь S треугольника, изображенного на рисунке, ограниченного сверху кривой распределения (графиком функции f(x)), а снизу осью абсцисс, равна 1. Поэтому S = 1/2 ∙ (1 – (-1)) ∙ f(1) = 1/2 ∙ 2 ∙ f(1) = f(1) = 1, откуда f(1) = 1.

Уравнение прямой f(x) найдем как уравнение прямой, проходящей через точки (-1; 0) и (0; 1):
(x + 1)/(1 + 1) = (f – 0)/(1 – 0),
f = x/2 + 1/2.
Вне отрезка [-1; 1] плотность распределения случайной величины X равна нулю. Поэтому аналитическое выражение кривой распределения случайной величины X, показанное на рисунке, имеет вид
f(x) = x/2 + 1/2, если -1 ≤ x ≤ 1,
f(x) = 0, если -∞ < x < -1 или 1 < x < ∞.

Имеем Y = 1 – X² и M(Y) = M(1 – X²) = M(1) – M(X²). Находим
M(X²) = _-1∫¹ x² ∙ f(x)dx = _-1∫¹ x² ∙ (x/2 + 1/2)dx = _-1∫¹ (x³/2 + x²/2)dx = (x⁴/8 + x³/6)|_-1¹ =
= (1/8 + 1/6) – (1/8 – 1/6) = 1/3,
M(Y) = 1 – 1/3 = 2/3.

Находим дисперсию случайной величины Y:
D(Y) = D(1 – X²) = D(-X²) = (-1)² ∙ D(X²) = D(X²) = M(X⁴) – (M(X²))²,
M(X⁴) = _-1∫¹ x⁴ ∙ f(x)dx = _-1∫¹ x⁴ ∙ (x/2 + 1/2)dx = _-1∫¹ (x⁵/2 + x⁴/2)dx = (x⁶/12 + x⁵/10)|_-1¹ =
= (1/12 + 1/10) – (1/12 – 1/10) = 1/5,
D(Y) = 1/5 – (1/3)² = 1/5 – 1/9 = (9 – 5)/45 = 4/45.

Ответ: M(Y) = 2/3, D(Y) = 4/45.

Вроде бы так...

С уважением.