Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 177246
14.03.2010, 17:46
0.00 руб.
0 13 2
Образование
Добрый день, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить уравнение:

(5sinx+12cosx)(100+48cosx-13cos2x)=1757

Обсуждение

давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
14.03.2010, 19:25
общий
это ответ
Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

Значение первого множителя ограничено. Найдем его максимум. Для этого приравняем 0 производную
5cos-12sin=0
Здесь появился один из пифагоровых треугольников (5, 12, 13), благодаря чему можно посчитать
cosx=12/13 sin x=5/13
25/13+144/13=13
Найдем максимум второго множителя
-48sinx+26sin2x=0
12sinx-13sinxcosx=0
sin x=0 cos x=[$177$]1, cos2x=1, или cos x=12/13, cos2x=2*144/169-1=119/169
Максимум равен 100+48*12/13-13*119/169=100+48*12/13-119/13=1757/13
Максимум произведения равен 1757 и достигается, если
x=arcsin(5/13)+2 [$960$]n



давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
14.03.2010, 19:43
общий
это ответ
Здравствуйте, Болдырев Тимофей.

По формуле вспомогательного угла 5sinx+12cosx=13sin(x+[$966$]),
где [$966$]=arcsin(12/13). Отсюда следует, что максимальное значение первого множителя равно 13.

Во втором множителе cos2x=2cos2x-1 и он равен 113+48cosx-26cos2x=113+48t-26t2,
где t=cos x. Абсцисса вершины квдратного трехчлена t=48/(2*26)=12/13, ордината=113+48*(12/13)-26(12/13)2=1757/13.
Следовательно, максимальное значение второго множителя равен 1757/13.

Так как произведение этих множителей равно 1757=13*(1757/3), то первый из них должен быть равен 13, а второй 1757/13.
Это означает, что t=cosx=12/13 и 5sinx+12cosx=13, т.е. уравнение равносильно системе
sinx=5/13
cosx=12/13
Это дает единственную серию x=arcsin(5/13)+2 pi n

Ответ: x=arcsin(5/13)+2pi n (n -целое).
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
15.03.2010, 15:11
общий
star9491:
Поясните, пожалуйста, что и как было исправлено, где была некорректность?
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
15.03.2010, 20:45
общий
star9491:
Понятно. Спасибо большое. Таким образом, Асмик дала неверный ответ, а после Вашей подсказки исправила свой ответ (на что имела полное право) и удалила Ваш пост, видимо, без согласования с Вами?
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
15.03.2010, 22:19
общий
star9491:
Понятно. Извините за беспокойство. Удаляйте, конечно.
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
15.03.2010, 22:26
общий
Гаряка Асмик:
Асмик, простите, я заподозрила вас в удалении чужого комментария - он шел в потоке со всем удаленным Вами сегодня, я запуталась.
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
15.03.2010, 22:35
общий
Сучкова Татьяна Михайловна:
Это технически невозможно. Я не могу удалить чужой комментарий.
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
15.03.2010, 22:48
общий
Гаряка Асмик:
Действительно.
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
16.03.2010, 09:07
общий
star9491:
Не в данном случае (потому что ответы практически одновременные), но во всех возможных остальных рекомендую все же оставлять свои посты - иначе, видя два одинаковых ответа, Ваш ответ будет считаться повторным и на экзамене Вас же за это и накажут.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
16.03.2010, 13:26
общий
Сучкова Татьяна Михайловна:
А где Вы видите, что они одинаковые?

В обоих ответах даны разные решения. Более того, даже после исправления первый ответ не только остался с ошибками, но и является мало понятным.
давно
Сучкова Татьяна Михайловна
Мастер-Эксперт
680
2811
16.03.2010, 18:06
общий
star9491:
Пожалуйста, поясните, где ошибки, модераторы исправят.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
16.03.2010, 20:32
общий
Сучкова Татьяна Михайловна:
Давайте начнем сначала:

Значение первого множителя ограничено. Найдем его максимум. Для этого приравняем 0 производную
5cos-12sin=0
Здесь появился один из пифагоровых треугольников (5, 12, 13), благодаря чему можно посчитать
cosx=12/13 sin x=5/13
25/13+144/13=13


Я ничего здесь не понял. Пусть кто-нибудь переведет это на русский язык.
давно
Лысков Игорь Витальевич
Посетитель
7438
7205
17.03.2010, 16:22
общий
star9491:
Мда, Асмик не желает объяснять, придется мне...
1) Любая пифагорова тройка (a,b,c), т.е. таких чисел, что a2 + b2 = c2, задаёт точку с рациональными координатами (a/c, b/c) на единичной окружности x2 + y2 = 1
2) Для чисел 5 и 12 третьим числом в пифагоровой тройке будет 13.
3) Требуется решить уравнение 5cos(x) = 12sin(x). Если посмотреть на него графически, то требуется построить прямоугольный треугольник с катетами, длины которых, умноженные на 5 и 12, равны.
4) А значит, cos(x) должен быть равен коэффициенту возле sin(x) и деленному на гипотенузу, т.е. cos(x) = 12/13, т.к. гипотенуза будет равна, как раз, третьим числом в пифагоровой тройке (5, 12, 13)
5) Аналогично, sin(x) = 5/13
Об авторе:
"Если вы заметили, что вы на стороне большинства, —
это верный признак того, что пора меняться." Марк Твен
Форма ответа