Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 177026
03.03.2010, 00:16
0.00 руб.
0 6 1
Образование
Здравствуйте,уважаемые эксперты,помогите пожалуйста решить задачу:
для каждого значения параметра а найдите все корни уравнения
tg3x+(2*a-5)*tgx+(4*(a-2))/(1+cos2x)=2*a-4 ,лежащие в интервале от [-[$8719$]/2;[$8719$]] и укажите наибольший и наименьший из этих корней
заранее благодарен

Обсуждение

Неизвестный
03.03.2010, 21:28
общий
07.03.2010, 20:33
это ответ
Здравствуйте, G-buck.
Во-первых, заметим, что
2/(1+cos2x) = tg2x+1.

Поэтому, сделав замену переменной tg(x) = z, перепишем данное уравнение в виде
z*(z2 + (2a-4)*z + (2a-5)) = 0. (1)

Уравнение (1) в общем случае имеет 3 корня: z1 = 0, z2 = -1, z3 = 5-2a (z2 и z3 можно найти по теореме Виета).

Теперь рассмотрим график функции y = tg(x) на отрезке [-п/2; п]. Решим с помощью этого графика уравнение tg(x) = z.



Из графика видно, что уравнение
tg(x) = 0 имеет 2 корня на заданном отрезке: x1 = 0, x2 = п.

Уравнение tg(x) = -1 имеет два корня на заданном отрезке: x3 = -п/4, x4 = 3*п/4.

Теперь решим уравнение
tg(x) = 5-2*a. (2)

Если a < 5/2, то x4 = arctg(5-2*a).
Если a = 5/2, то это эквивалентно случаю tg(x) = 0, рассмотренному выше.
Если a > 5/2, то x4 = arctg(5-2*a), x5 = п + arctg(5-2*a).

Таким образом, наибольший уз указанных корней равен п.
Далее, если 5-2*a < -1 (a>3), то наименьший корень равен arctg(5-2*a), в противном случае наименьший корень равен -п/4.

Ответ:
1. Если a < 5/2: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
2. Если a = 5/2: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4. Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
3. Если 5/2 < a < 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a), x6 = п + arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
4. Если a = 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4. Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
5. Если a > 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a), x6 = п + arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = arctg(5-2*a). Наибольший корень: x = п.
5
Неизвестный
03.03.2010, 21:33
общий
Заранее предвижу возможные замечания, что рисунок в виде графика не слишком нагляден для данной задачи.

Однако сразу могу сказать, что для людей, умеющих читать графики данный рисунок является исчерпывающим и вполне может навести на правильный ход решения задачи и понять присутствующую в ответе логику решения.

В любом случае если что-то непонятно, жду вопросов в мини-форуме.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
03.03.2010, 22:30
общий
Быстров Сергей Владимирович:
Величины z2 = -1, z3 = 5-2a корнями не являются. Произведение корней должно быть равно 2a-4, а у Вас оно равно 2a-5.
Неизвестный
04.03.2010, 18:17
общий
star9491:
Решение правильное.
Просто уравнение (1) имеет вид

z*(z2 + (2a-4)*z + (2a-5)) = 0.

Опечатка. Большое спасибо за сообщение. Оно очень ценное.
Неизвестный
04.03.2010, 21:15
общий
спасибо большое за помощь.очень благодарен.
Неизвестный
05.03.2010, 05:01
общий
Есть еще ошибка в решении.
Приведу текст с изменениями (начиная с момента, где именно вкралась ошибка).


Из графика видно, что уравнение
tg(x) = 0 имеет 2 корня на заданном отрезке: x1 = 0, x2 = п.

Уравнение tg(x) = 1 имеет один корень на заданном отрезке: x3 = п/4.


Правильный вариант следующий

Уравнение tg(x) = -1 имеет два корня на заданном отрезке: x3 = -п/4, x4 = 3*п/4.

Теперь решим уравнение
tg(x) = 5-2*a. (2)

Если a < 5/2, то x5 = arctg(5-2*a).
Если a = 5/2, то это эквивалентно случаю tg(x) = 0, рассмотренному выше.
Если a > 5/2, то x5 = arctg(5-2*a), x6 = п + arctg(5-2*a).

Таким образом, наибольший уз указанных корней равен п.
Далее, если 5-2*a < -1 (a>3), то наименьший корень равен arctg(5-2*a), в противном случае наименьший корень равен -п/4.

Ответ:
1. Если a < 5/2: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
2. Если a = 5/2: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4. Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
3. Если 5/2 < a < 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a), x6 = п + arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
4. Если a = 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4. Наименьший корень: x = -п/4. Наибольший корень: x = п.
5. Если a > 3: x1 = 0, x2 = п, x3 = -п/4, x4 = 3*п/4, x5 = arctg(5-2*a), x6 = п + arctg(5-2*a). Наименьший корень: x = arctg(5-2*a). Наибольший корень: x = п.


P.S.
Как видим, идея решения сохранилась. Но исправление ошибки повлияло на многое.
Форма ответа