В ответе имеется однотипные логичесие ошибки. Например.
Из равенства lim(sin x/2)=lim(x/2)=0 делается вывод, что sin(x/2) можно заменить на (x/2)

Однако, lim x^9 тоже равен нулю. Риторический вопрос: а почему бы нам не заменить sin(x/2) на x^9?

Правильный ответ заключается в том, что при вычислении предела сомножитель можно заменить на эквивалентную величину
(т.е. такую, предел отношения которой с той, которую заменяем равен 1). Правильная мотивация состоит в том, что не пределы
sin x/2 и x/2 равны нулю, а в том, что предел отношения (sin x/2)/(x/2) равен 1.

Это не ошибка, а, скорее, неточность формулировки (точнее записи). Имелось ввиду именно то, что при х[$8594$]0 sinx, tgx, arcsinx, arctgx и x являются эквивалентными бесконечно малыми функциями.
Действительно, не совсем удачно записал это

Сласти:
Добавил решение примера в)