Здравствуйте, Litta.
Тут надо применить теорему: Синус угла между скрещивающимися прямыми равен отношению длины проекции одной из прямых на плоскость, к которой другая прямая перпендикулярна, к её длине (http://neive.by.ru/geometriia/geom6.html).
Тогда из этой теоремы получим равенство: sin(a)=NC/ND (1) (так как NC есть проекция ND на плоскость ABCD, а плоскость ABCD и прямая AA1 перпендикулярны (Правильная призма — призма в основании которой лежит правильным многоугольник (в нашем случае квадрат), а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания.)).
Если нарисовать чертеж, то можно увидеть справедливость такого равенства: BN^2+BC^2=NC^2. Но из условия мы знаем, что BN=AB/2, а ABCD-квадрат, тогда BC=2BN (ур-ие *) (BN найдем позже). Тогда BN^2+4BN^2=NC^2 или 5BN^2=NC^2 (2).
Из уравнений 1 и 2: 5BN^2=(ND*sin(a))^2 откуда ND=sqrt(5)BN/sin(a).
Из чертежа: PC=ND*cos(a)=sqrt(5)BN*cos(a)/sin(a)=sqrt(5)BN*ctg(a), но по условию CC1=2PC=2*sqrt(5)BN*ctg(a) (ур-ие **).
Теперь зная длинны сторон DC и BC мы можем выразить площадь через BN используя уравнения (*) и (**).
Найдём BN.
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно:
- Найти плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых;
- Ортогонально спроектировать вторую прямую на эту плоскость;
- Из точки пересечения плоскости первой прямой опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой
В итоге из чертежа получим, что AMN подобен BCN (где AM перпендикулярна прямой NC и пренадлежит плоскости ABCD, AM и есть расстояние между скрещивающимися прямыми), из чего следует, что NM=AM/2. По теореме пифагора получим BN^2=NM^2+AM^2 откуда BN=sqrt(NM^2+AM^2)=sqrt((AM^2)/4+AM^2)=sqrt(1^2+2^2)=sqrt(5);
Из ур-ия (*) BC=2*sqrt(5);
Из ур-ия (**) CC1=2*sqrt(5)*sqrt(5)*sqrt(3)=10*sqrt(3).
В итоге ссумарная площадь равна: S=2*(BC^2)+4*(CC1*BC)=2*(2*sqrt(5))^2+4*2*sqrt(5)*10*sqrt(3)=2*4*5+8*10*sqrt(15)=40*(1+2*sqrt(15))
Типа такого. Может где есть ошибки но общий подход думаю верен. Если необходим чертёж, пиши, нарисую.

Здравствуйте, Litta.

Рассмотрим треугольник PNC. Так как PC и AA1 параллельны, то угол NPC равен углу между AA1 и NP, т.е. 30 градусов.
Плоскость PNC перпендикулярна AB, а прямая AA1 параллельна плоскости PNC, следовательно длина AN и есть расстояние
между AA1 и NP. Отсуда следует, что сторона основания призмы a=2AN=4.

Высота CN треугольника ABC равна a√3/2=2√3. Из прямоугольного треугольника NPC (в котором CN=2√3 и угол NPC=30 градусов)
находим PC=6. Следовательно высота призмы H=2PC=12.

Площадь основания S_0=a^2√3/4=4√3. Площадь боковой грани S_1=a*H=48.

Полная поверхность призмы S=2S_0+3S_1=8√3+144.

Ответ: S=8(√3+18).