Консультации Портала - Консультация #176434

Задать вопрос Консультации Пользователи Форум

Задать вопрос экспертам

Консультация № 176434

01.02.2010, 18:46

0.00 руб.

0 4 1

Образование

Через вершину S прямого кругового конуса объемом 4pi проведена прямая, пересекающая плоскость, в которой лежит основание конуса в точке A. Через точку A проведены прямые, касающиеся окружности основания конуса в точках B и С. Найти угол между прямыми SC и AB, если длина касательной AС равна 2[$8730$]3, а наибольшее расстояние от точки до точек окружности основания конуса равно 6.

Обсуждение

давно

Roman Chaplinsky / Химик CH

Модератор
156417
2175

01.02.2010, 19:33

общий

наибольшее расстояние от точки до точек окружности основания конуса равно 6.

Точки А?

Неизвестный

01.02.2010, 20:19

общий

Litta:
Если ответ на вопрос Химика положительный, то начало решение может быть таким.

Обозначим центр основания конуса O, проведем прямую AO и обозначим точки пересечения этой прямой с окружностью E и D. Расположение точек на прямой AO: A, E, O, D.
Проведем хорду BC, обозначим точку пересечения с прямой AO как M.

Объем прямого конуса равен 1/3*pi*R²H. Приравнивая это выражение к заданному объему (4*pi) получаем: R²H = 12 => H=12/R²

По условию AD = 6, AC = BC = 2[$8730$]3. Обозначим AE = x. Из прямоугольного треугольника AOC имеем уравнение: (x+R)² = R² + 12, а также имеем выражение для отрезка AD: x + 2R = 6.
Отсюда x = 6-2R => x+R = 6-R => 36-12R+R²=R²+12 => 12R=24 => R=2 => H=3. При этом x = AE = 2.

Рассматривая прямоугольные треугольники AMC и CMO, получаем:
AM²-AC²=OC²-OM²
Обозначим OM = x. Тогда 12-(4-x)²=4-x² <=> 12-16+8x-x²=4-x² <=> 8x=8 <=> x=1
Т.о., EM = MO = 1; CM = MB = [$8730$]3; CB = 2[$8730$]3.

Т.о., треугольник ABC - равносторонний.

Проведем прямую a через вершину S параллельно отрезку BC, и возьмем точки S' и S'' так, чтобы SS' = SS'' = BC (S' "со стороны" точки B, а S'' - точки C относительно плоскости AOS).
Проведем отрезки: SC, SB, S'B, S'C, S''C

Проведем в плоскости основания конуса прямую b через точку A паралелльно отрезку BC. Отложим на ней точки A' и A'' так, чтобы AA' = AA'' = BC, A' - "со стороны" точки B, A'' - точки C относительно прямой AO.
Проведем отрезки: A'S', A'S, A''S, A''S''

Пусть K - середина отрезка AA'. Тогда AK = BM => BK || AM, BK = AM => BK перп. AA' => треугольник AA'B - равнобедренний, а т.к. AA' = BC, то и вообще равносторонний. Аналогично и треугольник AA''C также равносторонний.

Дальше у меня получилось определить длины отрезков SA (5), SB = SC = [$8730$]13.
Но я так и не придумал, как найти длину отрезка S'A (равного SA'). Если его найти, то в треугольнике ABS' будут известными все три стороны, что позволит определить угол ABS' по теореме косинусов. А этот угол и будет равен углу между прямыми AB и SC.

давно

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт
319965
1463

01.02.2010, 23:24

общий

это ответ

Здравствуйте, Litta.
1) Пусть R - радиус основания конуса, а O - его центр. Рассмотрим окружность основания и проведем секущую ОА. Внутренняя часть секущей равна 2R, а внешняя 6-2R. По теореме о секущей и касательной (квадрат касательной равен произведению длины секущей на длину ее внешней части) получаем (2√3)^2=6*(6-2R). Отсюда находим радиус R=2.

2) Находим высоту конуса H. Объем конуса V=pi*R^2*H , V=4*pi, R=2 ---> H=1.

3) Находим длину образующей l=√H^2+R^2 ---> l=√5

4) Находим угол BAC. В прямоугольном треугольнике OBA один катет OB=R=2, второй катет AB=2√3 ---> BAO=pi/6 ---> BAC=pi/3

5) Проводим прямую параллельную AB и проходящую через C. Пусть D - точка пересечения этой прямой с окружностью.
Из O опустим перпендикуляр на CD, пусть E - основание этого перпендикуляра. Углы COE и BAC имеют взаимно перпендикулярные стороны,
поэтому COE=BAC=pi/3. Так как CO=R=2, то CE=√3.

6) Рассмотрим прямоугольный треугольник SEC (так как проекция OE прямой SE перпендикулярна CD, то и сама прямая SE
перпендикулярна CD). В нем SC=l=√5, CE==√3. Следовательно, угол SCE=arccos√3/5.

7) Так как прямая CE параллельна AB, то угол SCE - искомый.

Ответ: arccos√3/5 (под корнем 3/5)

Вроде бы все выкладки с учетом поправки верные.<br>Хотя ответ немного не совпадает с приведенным arccos√1/13

давно

Орловский Дмитрий

Мастер-Эксперт
319965
1463

02.02.2010, 00:17

общий

Litta:
Забыл 1/3 в формуле объема.
Поэтому H=3, l=√13, и искомый угол равен arccos√3/13 (3/13 под корнем).

Форма ответа

Отправка постов/ответов доступна только зарегистрированным и подтвержденным пользователям.

Если Вы уже зарегистрированы на Портале - войдите в систему, если Вы еще не регистрировались - пройдите простую процедуру регистрации.