Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 176425
01.02.2010, 00:01
0.00 руб.
0 10 3
Образование
Уважаемые эксперты,

существуют ли относительно точные правила, когда система уравнений с двумя неизвестными решается подстановкой а=[$8730$]-x (корень минус х), b=[$8730$]-у (корень минус у)?
В справочниках нигде про это не встречала, в решебниках данный способ решения никак не объясняют.

Из условия вроде бы неочевидно, что х, y - отрицательны. Например (система):

4x+y=4[$8730$]xy - 16
16x2y2=8xy+64

Обсуждение

Неизвестный
01.02.2010, 00:46
общий
это ответ
Здравствуйте, Anjali.
Насчёт такой подстановки не знаю, но по поводу решения данной системы есть идеи. Я выразил их второго уравнения xy, сделав подстановку xy=t. Затем нашёл корень из (xy) и подставил его в превое уравнение. Таким образом я получил два уравнения первой степени: xy=t и 4x+y=4*t^0.5-16.
Для действительных корней она решается просто (я решил, проверил, всё сходиться), но для мнимых корней (то есть при xy<0) не пробовал... Но думаю в этом случае можно решить в общем виде.
5
Спасибо за идею.
давно
Асмик Гаряка
Профессор
230118
3054
01.02.2010, 01:29
общий
это ответ
Здравствуйте, Anjali.

Если решить 2-е уравнение относительно t=xy, получается t=(1[$177$][$8730$]65)/4. Численно это 2,265 и -1,765. Подставить в первое уравнение можно только t1, В правой части получается -9,98. Учитывая, что x и y имеют один знак, они оба должны быть отрицательны. Решения в комплексных числах вряд ли требуется искать.
5
Спасибо, всё понятно!
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
01.02.2010, 10:19
общий
это ответ
Здравствуйте, Anjali.

В данном случае целесообразность подстановки обусловлена ОДЗ функции квадратного корня. Под знаком корня может находиться положительное число. Поэтому либо переменные x и y обе неотрицательны, либо они обе отрицательны. Второй случай суть указанная Вами подстановка.

Универсального правила для подстановок нет.

С уважением.
5
Спасибо!
Об авторе:
Facta loquuntur.
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
01.02.2010, 12:16
общий
Anjali:
в решебниках данный способ решения никак не объясняют


В решебниках часто пишут только краткое решение ввиду ограниченности объема книги.
А додумывать то, что осталось за занавесом, должны читатели.
Неизвестный
01.02.2010, 15:04
общий
Гордиенко Андрей Владимирович, я думаю ни каких ОДЗ тут не надо. Настоящие математики не должны бояться комплексных чисел, и в решении я бы указал, что имеется еще два (или даже 4) комплексных корня, хотя решать бы до конкретных значений я бы не стал, оставил в бы в общем виде.
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
01.02.2010, 15:37
общий
riaman:
Здравствуйте!

При решении в области комплексных чисел вообще никаких подстановок делать не надо...

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
01.02.2010, 17:27
общий
Насчет правил не знаю, но при попытке подстановки a2 = x; b2 = y из первого уравнения получаем: (2a-b)2=-16, что означает, что мы либо должны работать в комплексных числах, либо искать другие подходы.
Вводя обозначения так: a2=-x; b2=-y получаем (2a+b)2=16, что дает возможность дальнейшего решения.
В общем, какие-то такие соображения...
давно
Орловский Дмитрий
Мастер-Эксперт
319965
1463
01.02.2010, 17:58
общий
riaman:
Все это выдумка про комплексные числа. В комплексной области корень имеет два значения и подстановка
а=√-x с одной стороны некорректна так как не указывает какой комплексный корень берется, а с другой стороны выбор
знака плюс или минус под корнем равнозначен (для комплесной области). Контекст вопроса ясно указывает на то, что задача
должна решаться в вещественной области.

И дело вовсе не в том, что
математики не должны бояться комплексных чисел
, а в том, что перед нами - школьная задача,
которая должна решаться в области вещественных чисел.
Неизвестный
01.02.2010, 23:28
общий
Да, это школьная задача.

Большое спасибо всем за обсуждение!
давно
lamed
Академик
320937
2216
03.02.2010, 17:59
общий
Anjali:
Добрый день! Как раз сейчас смотрим эту задачу (вариант15, с1).
Из наличия корня следует, что
1)либо x>=0 и y>=0,
2)либо x<=0 и y<=0
Предположим (1), тогда по свойству среднее арифметическое не меньше среднего геометрического, то есть
(4x+y)/2>=корень(4xy), то есть 4x+y>=корень(4xy), получаем противоречие, значит, вариант(2).
В дополнение могу сказать, что к решениям из Решебника нужно относиться критически, "пенки" есть.
Форма ответа