Здравствуйте, Annettik.
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
y' =x*e^х^2(1+y^2).
Представим уравнение
y' =x*e^х^2(1+y^2)
в виде
y'/(1+ y^2) = x*e^x^2.
Интегрируем последнее равенство
∫dy/(1+ y^2) = ∫dx(x*e^x^2) => arctg y = e^x^2/2 + C.
Откуда получаем общее решение уравнения
y = tg(e^x^2/2 + C).

Найти частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие условиям:
y''=1/(2x+3)^2
a) y(-1)=3/2, y'(-1)=1
б) y(-1)=y(0)=0.

Найдем общее решение уравнения
y''=1/(2x+3)^2 => y' = -1/(2*(2x+3)) + C1 => y = -ln (2x+3)/4 + C1*x + C2.
Постоянные интегрирования С1 и С2 найдем из граничных условий
а) y(-1) = - ln(1)/4 - C1 + C2 => -C1 + C2 = 3/2 => C2 = C1 + 3/2
y'(-1) = -1/2 + C1 => C1 = 1/2.
Откуда
С1 = 1/2; С2 = 2.
Окончательный ответ
y = -1/4*ln(2x+3) + x/2 +2.

б) y(-1) = -C1 + C2 =0; y(0) = -1/4*ln3 + C2 = 0.
Откуда
С1 = С2 = 1/4*ln3.
Окончательный ответ
y = -1/4*ln(2x+3) + ln3* (x +1)/4.

Здравствуйте, Annettik.
Annettik:
1) В первом уравнении разделяем переменные:
dy/(1+y^2)=d(e^x^2)/2
Интегрируя находим
arctg y+c=0.5e^x^2
Общий интеграл: 0.5e^x^2-artg y+C

Во втором уравнении в методичке опечатка - обращайтесь к преподавателю.

2)Интегрируя, находим
y'=-1/2(2x+3)+C1
еще раз интегрируя, получаем общее решение
y=-0.25ln|2x+3|+C1*x+C2
a) подставляя в формулу для y' значение x=-1, получаем 1=-0.5+C1 ---> C1=3/2
подставляя в формулу дл y значение x=1 и учитывая, что C1=3/2, имеем
3/2=-0/25ln(1)-3/2+С2
та как ln(1)=0, то C2=3
Таким образом, y=-0.25ln|2x+3|+1.5x+3

б) y'(-1)=0 дает -0.5+С1=0 ---> C1=0.5
y(0)=0 дает 0=-0ю25дт(3)+С2 ---> C2=0.25ln(3)
таким образом, y=-0.25ln|2x+3|+0.5x+0.25ln(3)