Здравствуйте, stereot2p.
Длина ребра A1A2 вычисляется по формуле d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2), где sqrt - квадратный корень. Подставляя данные, находим:
d=sqrt((9-7)^2+(4-5)^2+(4-3)^2)=sqrt(4+1+1)sqrt(6).
Ответ: d=sqrt(6).

Здравствуйте, stereot2p.

Рассмотрим векторы:
A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] = (9-7; 4-5; 4-3) = (2; -1; 1)
A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub] = (4-7; 5-5; 7-3) = (-3; 0; 4)
A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] = (7-7; 9-5; 6-3) = (0; 4; 3)

Тогда:
1. Длина ребра равна длине соответствующего вектора: A₁A₂ = |A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]| = [$8730$](2²+(-1)²+1²) = [$8730$](4+1+1) = [$8730$]6

2. Косинус угла между ребрами равен скалярному произведению соответствующих векторов, деленных на произведение длин этих векторов:
Cos (A₁A₂, A₁A₄) = A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub][$149$]A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] / |A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]|*|A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub]|
A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub][$149$]A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub] = 2*0 + (-1)*4 + 1*3 = -1
|A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub]| = [$8730$]6
|A[sub]1[/sub]A[sub]4[/sub]| = [$8730$](0²+4²+3²) = [$8730$](0+16+9) = [$8730$]25 = 5
Cos (A₁A₂, A₁A₄) = -1/5[$8730$]6

3. Площадь грани A₁A₂A₃ есть площадь треугольника A₁A₂A₃, которая, в свою очередь, есть половина векторного произведения двух любых векторов на сторонах этого треугольника:
S_{[$916$]A[sub]1}A₂A₃[/sub] = 1/2*A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub][$215$]A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub]
A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub][$215$]A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub]:
| i j k |
| 2 -1 1 | = -4i -3j + 0k -3k -8j - 0i = -4i -11j -3k = (-4; -11; -3) = n
|-3 0 4 |

|n| = [$8730$]((-4)²+(-11)²+(-3)²) = [$8730$](16+121+9) = [$8730$]146
S_{[$916$]A[sub]1}A₂A₃[/sub] = [$8730$]146 / 2

4. Уравнение грани A₁A₂A₃:
| x-7 y-5 z-3 |
| 9-7 4-5 4-3 | = 0
| 4-7 5-5 7-3 |

| x-7 y-5 z-3 | | x-7 y-5 z-3 |
| 9-7 4-5 4-3 | = | 2 -1 1 | = -4(x-7) -6(y-5) + 0(z-3) -3(z-3) -8(y-5) -0(x-7) = -4(x-7) -11(y-5) -3(z-3) = -4x -11y -3z + (28+55+9) = -4x -11y -3z + 92
| 4-7 5-5 7-3 | | -3 0 4 |

Т.о. уравнение плоскости имеет вид: -4x -11y -3z + 92 = 0

5. Обозначим основание высоты из вершины A₄ как H с координатами (x, y, z). Тогда:
A₄H перпендикулярна A₁A₂
A₄H перпендикулярна A₁A₃
H принадлежит плоскости A₁A₂A₃

Вектор A[sub]4[/sub]H имеет координаты (x-7; y-9; z-6)

Перпендикулярность определяем из факта равенства 0 скалярного произведения соответствующих векторов:
A[sub]4[/sub]H [$149$] A[sub]1[/sub]A[sub]2[/sub] = 0 <=> (x-7; y-9; z-6) [$149$] (2; -1; 1) = 0 <=> 2(x-7) - (y-9) + (z-6) = 0 <=> 2x - y + z + (-14 + 9 - 6) = 0 <=> 2x - y + z = 11
A[sub]4[/sub]H [$149$] A[sub]1[/sub]A[sub]3[/sub] = 0 <=> (x-7; y-9; z-6) [$149$] (-3; 0; 4) = 0 <=> -3(x-7) + 0(y-9) + 4(z-6) = 0 <=> -3x + 4z + (21 - 24) = 0 <=> -3x + 4z = 3

В результате имеем систему из 3-х уравнений с 3-мя неизвестными:
(1) 2x - y + z = 11
(2) -3x + 4z = 3
(3) -4x -11y -3z = -92

Решая методом Крамера получаем: [$916$] = 146; [$916$]_x = 810; [$916$]_y = 731; [$916$]_z = 717
Т.о. точка H имеет координаты: (810/146; 731/146; 717/146)
Вектор A[sub]4[/sub]H равен 1/146*(-212; -583; -159), его длина равна [$8730$]410114 / 146 ~ [$8730$]19

Уравнение прямой (A₄H): (x-7)/(-212/146) = (y-9)/(-583/146) = (z-6)/(-159/146)

6. Объем пирамиды V = 1/3*S_{[$916$]A[sub]1}A₂A₃[/sub]*A₄H = 1/3 * [$8730$]146 / 2 * [$8730$]410114 / 146 = 1/6 * [$8730$](410114/146) = 1/6[$8730$]2809 = 53/6 = 8 5/6