Здравствуйте, Александров Анатолий Олегович.
Проверить свои знания Вам помогут такие сайты:

Прямая и двойственная задача линейного программирования. Геометрическая интерпретация двойственной задачи.
http://www.mathelp.spb.ru/book1/lprog5.htm

Связь между решением прямой и двойственной задач
http://simplex-metod.narod.ru/dvoistv/svyaz/sv.html/

Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности
http://www.textreferat.com/referat-1414.html

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования.
http://matmetod-popova.narod.ru/theme35.htm

Здравствуйте, Александров Анатолий Олегович.
Исходная задача. Сколько и. какой продукции xj (j =1,2, ., n) необходимо произвести, чтобы при заданных стоимостях Cj (j =1,2, ., n) единицы продукции и размерах имеющихся ресурсов bi (i =1,2, ., n) максимизировать выпуск продукции в стоимостном выражении.

Д в о й с т в е н н а я з а д а ч а. Экономический смысл: Какова должна быть цена единицы каждого из ресурсов, чтобы при заданных количествах ресурсов bi и величинах стоимости единицы продукции Ci минимизировать общую стоимость затрат?
Суммарная оценка сырья, используемого на производство единицы продукции каждого вида должны быть не меньше цены единицы продукции данного вида.


Геометрический способ: строятся прямые, соответствующие 3 линейным уравнениям
2x1+3x2=41
2x1+7x2=77
5x1+2x2=75
Получился многоугольник, состоящий из значений, лежащих под всеми 3 прямыми.
Нас интересуют значения в вершинах многоугольника.
Их 4
(0,11) (7,9) (13,5) (15,0)
Максимальное значение целевой функции 7x1+6x2 Достигается в точке (13,5) и равно 121

Решение симплекс методом
Целевая функция 7x1+6x2
Система неравенств
2x1+3x2<=41
2x1+7x2<=77
5x1+2x2<=75
Вид сформулированной задачи не является каноническим. Такая задача сводится к канонической путем введения дополнительных неотрицательных переменных x3, x4, x5.
Тогда ограничения примут вид
2x1+3x2+x3=41
2x1+7x2+x4=77
5x1+2x2+x5=75
Примем переменные x3, x4, x5 в качестве базисных и выразим их через свободные переменные , x1, x2
x3=41-2x1-3x2
x4=77-2x1-7x2
x5=75-5x1-2x2

В качестве опорного решения возьмем такое, которое соответствует нулевым значениям свободных параметров.
x1=0
x2=0
x3=41
x4=77
x5=75
Значение целевой функции при этом равно 0.
Положим x2=0 и будем увеличивать x1 до тех пор, пока базисные переменные остаются положительными. x1 можно увеличивать до 15, поскольку при большем значении x5 станет отрицательной.

Полагая x1=15, получаем новое опорное решение
x1=15
x2=0
x3=11
x4=47
x5=0

Значение целевой функции при этом равно 105.
Новое решение лучше предыдущего, поскольку значение целевой функции увеличилось.
Следующий шаг начнемсвыбора нового базиса. Примем ненулевые переменные x1, x3, x4 в качестве базисных.
Выразим их через свободные переменные x2 x5.
x1=15-0.4x2-0.2x5
x3=11-2.2x2+0.4x5
x4=47-6.2x2+0.4x5
Выражение для целевой функции запишем через свободные параметры, заменив x1
F=7x1+6x2=105+3.2x2-1.4x5
Значение целевой функции можно увеличить, увеличивая x2. x5 же увеличивать недопустимо. Оставим ее 0.
Максимальное значение x2 равно 5 (иначе x3 станет отрицательным)
Новое решение
x1=13
x2=5
x3=0
x4=16
x5=0
Значение целевой функции при этом равно 121.
Покажем, что полученное решение оптимальное. Примем ненулевые переменные x1 x2 x4 в качестве базисных.
В таком случае целевую функцию можно записать в виде
121-16/11x3-9/11x5.
Отсюда видно, что 121 - максимум, так как x3 и x5 неотрицательные.
План производства - 13 видов первой продукции и 5 видов второй.

Двойственной задачей будет найти минимум функции 41y1+77y2+75y3 при условиях
2y1+2y2+5y3>=7
3y1+7y2+2y3>=6



При определении симплексным методом оптимального плана одной из задач тем самым находится решение и другой задачи.
Положительную двойственную оценку имеют лишь те виды сырья, которые полностью используются при оптимальном плане производства изделий. Это 1 и 3 сырье.
При решении исходной задачи получили значение целевой функции 121-16/11x3-9/11x5. Коэффициенты при x3 и x5 являются решениями двойственной задачи.
y1=16/11
y2=0
y3=9/11

Здравствуйте, Александров Анатолий Олегович.
Для начала сделаю ВАМ замечание:

Не задавайте несколько разных, не связанных с друг другом вопросов, в одном. Это не запрещено (если все вопросы относятся к теме рассылки), но вероятность того, что Вы получите на них ответы, будет гораздо выше, если Вы зададите их по отдельности. Например, мало кому из экспертов захочется отвечать на вопрос, в котором просто перечислено несколько задач из задачника. Отвечать на такие вопросы неудобно, ответы трудно читаются в выпусках рассылок, затрудняется обсуждение в форуме. Поэтому большинство экспертов просто игнорируют вопросы, в которых под видом одного дано несколько вопросов или задач. Гораздо лучше, если Вы в одном вопросе спросите про решение одной проблемы, особенно, если Вы покажете, что пытались решить ее самостоятельно, и укажете, что именно вызвало трудности. Тогда многие захотят Вам помочь.

А в вашем задании около 5 условий, которые нужно найти. Советую Вам разбить задание на несколько вопросов и отправить на наш портал. Для вашей задачи я излагаю симплекс метод.

Замечание по задаче: изменены буквы P1 и P2 на А и В соответственно. На результат не повлияет, просто делаю как привык.
Решение:
Составим математическую модель задачи:
Обозначим через х₁ общее количество изделий А, х₂ общее количество изделий В, которые может произвести предприятие.
Тогда прибыль от реализации всех изделий вида А и В можно записать в виде функции
[$966$](х)=3х₁+2х₂[$8594$]max
Значение этой функции нужно найти учитывая ограничение по запасам сырья и учитывая затраты сырья на изготовление соответствующего изделия. Получим систему ограничений:

|2х₁+3х₂[$8804$]41
|2х₁+7х₂[$8804$]77
|5х₁+2х₂[$8804$]75

Так как по содержанию задачи общее количество не может быть меньше 0, то добавляем ограничения х_1,2[$8805$]0

Запишем эту задачу в канонической или основной форме:
[$966$](х)=3х₁+2х₂+0х₃+0х₄+0х₅[$8594$]max
|2х₁+3х₂+х₃=41
|2х₁+7х₂+х₄=77
|5х₁+2х₂+х₅=75
х_i[$8805$]0, i=1..5
Перейдем к векторной записи ЗЛП: P₀=(41,77,75),P₁=(2,2,5),P₂=(3,7,2),P₃=(1,0,0),P₄=(0,1,0),P₅=(0,0,1)
P₃,P₄,P₅ - базисные векторы, тогда первый опорный план будет иметь вид: Х₁=(0,0,41,77,75)
Для проверки на оптимальность опорного плана X₁ построим первую симплекс таблицу
Где S_б - коэффициенты при базисных векторах.
В четвертой строке присутствуют отрицательные элементы [$8658$] опорный план Х₁ не является оптимальным.
Найдем новый опорный план Х₂, для этого перейдем к новому базису.
Найдем разрешающий элемент
Из таблицы видно, что максимальный по абсолютной величине элемент из 4 стоки стоит в колонке вектора P1 и минимальный по отношению к P0 стоит в третей строке вектора P5 [$8658$] разрешающий элемент 5 и новым базисом будет вектор P1, а вектор P5 исключим из базиса.
Вектор P1 получим путем деления вектора P5 на разрешающий элемент.
Получится новая симплекс таблица
Опорный план Х₂=(15,0,11,47,0) так же не является оптимальным, так как в четвертой строке присутствуют отрицательные элементы
Аналогично вычисляем данные для следующей симплекс таблицы
Единственный отрицательный элемент из 4 стоки стоит в колонке вектора P2,а минимальный по отношению к P0 стоит в первой строке вектора P3 [$8658$] разрешающий элемент ¹¹/₅ и новым базисом будет вектор P2, а вектор P3 исключим из базиса.
Вектор P2 получим путем деления вектора P3 на разрешающий элемент.
Получится новая симплекс таблица
Все элементы последней строки [$8805$] 0 [$8658$] найденный опорный план Х₃=(13,5,0,16,0) является оптимальным. Значение в целевой функции [$966$](Х₃) является максимальным.
max{[$966$](x)} = 13, x₁=13, x₂=5.

Всего доброго!!!