После возведения неравенства во 2-ю степень, получим:
nⁿ < (n!)²< ((n+1)/2)²ⁿ

Ответ на первую часть неравенства, n[sup]n[/sup] < (n!)[sup]2[/sup], Вы можете найти по ссылке, либо ознакомьтесь с другим методом.

Вторая часть должна доказываться аналогично, но как пока ответить не могу.

Gh0stik:
Действительно, вторая часть доказывается аналогично.
Группируем сомножители в пары, первый с последним, второй со вторым с конца и т.д.
При четном n получим
n! = (1*n)*(2*(n-1))*(3*(n-2)*..*((n/2)*(n/2+1).
Среднее геометрическое не больше среднего арифметического, откуда следует
a*b <= ((a+b)/2)^2; равенство возможно только при a = b.
Поэтому каждая пара в скобках меньше ((n+1)/2)^2. Всего сомножителей n/2, поэтому
n! < ((n+1)/2)^n.
При нечетном n все то же самое, только один сомножитель, средний, без пары.
Так как он равен (n+1)/2, получится то же неравенство.

Спасибо за помощь... Друг обошелся первой половиной...
Отправьте в качестве ответа, если хотите. Людям на пользу будет, а Вам спасибо на кошелек