Здравствуйте, Кусмарцев Андрей Валерьевич.

1. Вычисляем предел последовательности

lim {n -> [$8734$]} a_n = lim {n -> [$8734$]} [ (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹) / (2ⁿ + 3ⁿ) ] =

= lim {n -> [$8734$]} [ ( (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹) : 3ⁿ ) / ( (2ⁿ + 3ⁿ) : 3ⁿ ) ] =

= lim {n -> [$8734$]} [ (2*(2/3)ⁿ + 3) / ((2/3)ⁿ + 1) ] = (2*0 + 3) / (0 + 1) = 3

2. Доказательство того, что число А = 3 является пределом данной последовательности, и определение выражения для N(e)

Для этого нужно доказать, что для любого сколь угодно малого е (е > 0) существует такой порядковый номер N (N(e)), что все члены ряда, с номерами больше N, лежат в е-окрестности числа А, то есть:

| a_n - A | < e; при n > N(e)

Тогда:

| a_n - A | = | a_n - 3 | = | [ (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹) / (2ⁿ + 3ⁿ) ] - 3 | =

= | (2ⁿ⁺¹ + 3ⁿ⁺¹ - 3*2ⁿ - 3*3ⁿ) / (2ⁿ + 3ⁿ) | = | (2*2ⁿ + 3*3ⁿ- 3*2ⁿ - 3*3ⁿ) / (2ⁿ + 3ⁿ) | =

= | - 2ⁿ / (2ⁿ + 3ⁿ) | = 2ⁿ / (2ⁿ + 3ⁿ) = (2ⁿ : 2ⁿ) / [ (2ⁿ + 3ⁿ) : 2ⁿ ] = 1 / (1 + (3/2)ⁿ)

| a_n - A | < e при:

[ 1 / (1 + (3/2)ⁿ) ] < e

1 + (3/2)ⁿ > 1/e

(3/2)ⁿ > (1/e) - 1 = (1 - e) / e

n > log_3/2 [ (1 - e)/e ] = ln[ (1 - e)/e ] / ln(3/2)

При уменьшении е выражение (1 - е) растет к единице (но ее не достигает), а выражение ((1 - е)/е) растет, следовательно при уменьшении е выражение (ln[ (1 - e)/e ] / ln(3/2)) растет

Это и доказывает то, что все элементы последовательности, с номерами больше указанного выражения, лежат в е-окрестности точки А = 3. Значит число А = 3 является пределом последовательности. И тогда:

N = N(e) = ln[ (1 - e)/e ] / ln(3/2)

где число N огругляется до меньшего натурального числа

3. Находим значения N для разных е

При е = 0.1:

ln[ (1 - e)/e ] / ln(3/2) = ln[ (1 - 0.1)/0.1 ] / ln(3/2) = 5.419

[$8658$] N = 5

Проверка:

a₅ = (2⁶ + 3⁶) / (2⁵ + 3⁵) = 793 / 275 = 2.884

| a₅ - A | = | 2.884 - 3 | = 0.116 > 0.1 = e

a₆ = (2⁷ + 3⁷) / (2⁶ + 3⁶) = 2315 / 793 = 2.919

| a₆ - A | = | 2.919 - 3 | = 0.081 < 0.1 = e

a₇ = (2⁸ + 3⁸) / (2⁷ + 3⁷) = 6817 / 2315 = 2.945

| a₇ - A | = | 2.945 - 3 | = 0.055 < 0.1 = e

....

При е = 0.01:

ln[ (1 - e)/e ] / ln(3/2) = ln[ (1 - 0.01)/0.01 ] / ln(3/2) = 11.333

[$8658$] N = 11

Проверка:

a₁₁ = (2¹² + 3¹²) / (2¹¹ + 3¹¹) = 535537 / 179195 = 2.989

| a₁₁ - A | = | 2.989 - 3 | = 0.011 > 0.01 = e

a₁₂ = (2¹³ + 3¹³) / (2¹² + 3¹²) = 1602515 / 535537 = 2.992

| a₁₂ - A | = | 2.992 - 3 | = 0.008 < 0.01 = e

a₁₃ = (2¹⁴ + 3¹⁴) / (2¹³ + 3¹³) = 4799353 / 1602515 = 2.995

| a₁₃ - A | = | 2.995 - 3 | = 0.005 < 0.01 = e

....