Здравствуйте, nani120.

1.)[sub]0[/sub][sup]8[/sup][$8747$]((x-1)/[$8730$](x+1))dx={Прибавим и отнимем 1 в числителе}=₀⁸[$8747$](((x+1)-2)/(x+1)^1/2)dx={Поделим почленно}=₀⁸[$8747$]((x+1)^-1/2-2(x+1)^-1/2)dx={Интегрируем}=(2(x+1)^1/2-4(x+1)^1/2)|₀⁸={Подставляем пределы интеграла, из верхнего вычитаем нижний}=2[$8730$]9 - 4[$8730$]9 - (2-4)=6-12+2=-4.

Здравствуйте, nani120.

2-ая задача

1. Так как:

x² + x + 1 = x² + 2*(1/2)*x + (1/4) - (1/4) + 1 = (x + (1/2))² + (3/4) [$8805$] (3/4) при любом действительном х

то подынтегральная функция непрерывна при любом действительном х. Но данный интеграл является несобственным, так как он "взят" по бесконечному верхнему пределу

2. Вычисляем сам интеграл или же убеждаемся в его расходимости

[$8747$]^[$8734$]₀ dx / (x² + x + 1) = [$8747$]^[$8734$]₀ dx / [ (x + (1/2))² + (3/4) ] = lim {A -> [$8734$]} [$8747$]^A₀ dx / [ (x + (1/2))² + ([$8730$](3)/2)² ] =

= lim {A -> [$8734$]} [1 / ([$8730$](3)/2)] * arctg [ (x + (1/2)) / ([$8730$](3)/2) ] | ^A₀ = [2 / [$8730$](3)] * lim {A -> [$8734$]} arctg [ [$8730$](3) *(2*x + 1) / 3 ] | ^A₀ =

= [2 / [$8730$](3)] * lim {A -> [$8734$]} { arctg [ [$8730$](3) *(2*A + 1) / 3 ] - arctg [ [$8730$](3) *(2*0 + 1) / 3 ] } = [2 / [$8730$](3)] * { (pi/2) - arctg [ 1 / [$8730$](3) ] } =

= [2 / [$8730$](3)] * { (pi/2) - (pi/3) } = [2 / [$8730$](3)] * (pi/6) = pi / (3 * [$8730$](3)) = [ [$8730$](3) / 9 ] * pi

То есть, данный интеграл сходится и равен [ [$8730$](3) / 9 ] * pi

3. Так как условие можно прочитать двояко, то:

[$8747$]⁰_{- [$8734$]} dx / (x² + x + 1) = [2 / [$8730$](3)] * lim {A -> - [$8734$]} arctg [ [$8730$](3) *(2*x + 1) / 3 ] | ⁰_A =

= [2 / [$8730$](3)] * lim {A -> - [$8734$]} { arctg [ 1 / [$8730$](3) ] - arctg [ [$8730$](3) *(2*A + 1) / 3 ] } = [2 / [$8730$](3)] * { (pi/3) - (- pi/2)} =

= [2 / [$8730$](3)] * (5*pi/6) = [ 5 * [$8730$](3) / 9 ] * pi

Этот интеграл также сходится и равен [ 5 * [$8730$](3) / 9 ] * pi


3-ья задача

1. Так как:

(x + x³)x = x²(1 + x²)

то подынтегральная функция непрерывна при любом действительном х, кроме точки х = 0, то есть подынтегральная функция непрерывна на промежутке интегрирования - на отрезке [1; 2], следовательно, данный интеграл не является несобственным

2. Вычисляем сам интеграл

1 / [ x²(1 + x²) ] = (1 + x² - x²) / [ x²(1 + x²) ] = [1 / x²] - [1 / (1 + x²)]

[$8747$]²₁ dx / [ x²(1 + x²) ] = [$8747$]²₁ { [1 / x²] - [1 / (1 + x²)] } * dx =

= { - (1/x) - arctg (x) } | ²₁ = - { (1/2) + arctg (2) - (1/1) - arctg (1) } = (1/2) + (pi/4) - arctg(2) = 0.8218

*** так как условие можно прочитать двояко, то:

[$8747$]²₁ dx / [ x²(1 + x²) ] = - [$8747$]¹₂ dx / [ x²(1 + x²) ] = (1/2) + (pi/4) - arctg(2) = 0.8218