Здравствуйте, kot31.

Дано: ∟A = 55°, φ = 30°, n = 1,5.
Определить: ∆φ.



Ход луча в призме показан на рисунке. Как внешний угол в треугольнике BEC, угол отклонения ∆φ равен
∆φ = (φ – β) + (β₁ – φ₁). (1)

Кроме того, ∟BAC = ∟BDK = ∟A как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами. Угол BDK является внешним углом в треугольнике BDC, поэтому
∟A = β + φ₁. (2)

Из выражений (1) и (2) получаем
∆φ = (φ – ∟A + φ₁) + (β₁ – φ₁) = φ – ∟A + β₁. (3)

Согласно закону преломления,
sin φ/sin β = n, sin φ₁/sin β₁ = 1/n. (4)

Из выражения (2)
sin β₁ = n ∙ sin φ₁ = n ∙ sin (∟A – β) = n ∙ (sin ∟A ∙ cos β – sin β ∙ cos ∟A).
Подставим в эту формулу значение sin β из выражения (4):
sin β = sin φ/n
и
cos β = √(1 – sin² β) = √(1 – (sin² φ)/n²) = 1/n ∙ √(n² – sin² φ).
Тогда
sin β₁ = sin ∟A ∙ √(n² – sin² φ) – sin φ ∙ cos ∟A. (5)

С учетом выражений (3) и (5) окончательно получаем
∆φ = φ – ∟A + arcsin (sin ∟A ∙ √(n² – sin² φ) – sin φ ∙ cos ∟A),
что после подстановки числовых значений дает
∆φ = 30° – 55° + arcsin (sin 55° ∙ √((1,5)² – sin² 30°) – sin 30° ∙ cos 55°) ≈
≈ 30° – 55° + arcsin (0,8192 ∙ 1,4142 – 0,5 ∙ 0,5736) ≈ 30° – 55° + arcsin 0,8717 ≈
≈ 30° – 55° + 60° 40’ = 35° 40’.

Ответ: 35° 40’.

С уважением.