Данная задача имеет как минимум два решения

1. Пусть a₉₈ < 2. Тогда число a₉₈ находится из системы:

{ a₉₈ < 2
{ a₉₉ = f(a₉₈) = (2a₉₈ + 8) / (a₉₈ - 2) = 0

(2a₉₈ + 8) / (a₉₈ - 2) = 0 [$8658$] 2a₉₈ + 8 = 0 [$8658$] a₉₈ = - 4 < 2

Далее, пусть a₉₇ < 2. Тогда число a₉₇ находится из системы:

{ a₉₇ < 2
{ a₉₈ = f(a₉₇) = (2a₉₇ + 8) / (a₉₇ - 2) = - 4

(2a₉₇ + 8) / (a₉₇ - 2) = - 4 [$8658$] 2a₉₇ + 8 = - 4a₉₇ + 8 = - 4 [$8658$] a₉₇ = 0 < 2

Тогда, очевидно:

a_2n-1 = 0 и a_2n = - 4, где n[$8712$]N

[$8658$] a_2n-1 + a_2m = - 4, для любого n и m, n; m[$8712$]N

[$8658$] a₃₃ + a₄₀ = - 4

Это первое решение


2. Пусть a₉₈ [$8805$] 2. Тогда число a₉₈ находится из системы:

{ a₉₈ [$8805$] 2
{ a₉₉ = f(a₉₈) = 0

f(a₉₈) = {⁵[$8730$][(a₉₈ - 5)/(a₉₈ - 1)]} + {[$8730$][(8a₉₈ - 7)/(2a₉₈+3)]} = 0

Уравнение имеет место при:

(8a₉₈ - 7)/(2a₉₈+3) [$8805$] 0 [$8658$] a₉₈ < - 1.5 и a₉₈ [$8805$] 7/8

Пересекая с ограничением a₉₈ [$8805$] 2, получим a₉₈ [$8805$] 2

Также это уравнение равносильно:

- ⁵[$8730$][(a₉₈ - 5)/(a₉₈ - 1)] = [$8730$][(8a₉₈ - 7)/(2a₉₈+3)]

Здесь получим еще одно ограничение:

(a₉₈ - 5)/(a₉₈ - 1) [$8804$] 0 [$8658$] 1 < a₉₈ [$8804$] 5

Пересекая с ограничением a₉₈ [$8805$] 2, получим 2 [$8804$] a₉₈ [$8804$] 5

Далее имеем:

[$8658$] [(a₉₈ - 5)/(a₉₈ - 1)]² = [(8a₉₈ - 7)/(2a₉₈+3)]⁵

Которое разрешимо при a₉₈ ≈ 2,1789 [$8805$] 2

Далее, опуская промежуточные выкладки, получим a₉₇ ≈ 5,2570. И так далее...

Далее я уже не вычислял, но, очевидно, это даст как минимум одно решение

Kom906:
f(x)<3, поэтому 5,257.. получить невозможно, и второго решения нет.

Lang21:
Не понимаю, откуда вы взяли цыфру 3 в условии f(x)<3, поясните, пожалуйста

Может быть вы имели ввиду ограничение 2 ≤ a₉₈ ≤ 5, но оно распространяется только на корень a₉₈, так как выражение для нахождения a₉₇ имеет вид:

{ a₉₈ ≥ 2

{ a₉₈ = f(a₉₇) = {5√[(a₉₇ - 5)/(a₉₇ - 1)]} + {√[(8a₉₇ - 7)/(2a₉₇+3)]} = 2,1789

[$8658$] {5√[(a₉₇ - 5)/(a₉₇ - 1)]} + {√[(8a₉₇ - 7)/(2a₉₇+3)]} = 2,1789

Здесь ограничениями будут:

{ a₉₇ ≥ 2

{ (8a₉₇ - 7)/(2a₉₇+3) ≥ 0 ⇒ a₉₇ < - 1.5 и a₉₇ ≥ 7/8

В итоге имеем: a₉₇ ≥ 2

Kom906:
Если x < 2:
f(x) = (2x+8)/(x-2) = 2 + 12/(x-2) < 2.

Если x>=2:
((x-5)/(x-1))^(1/5) = (1 - 4/(x-1))^(1/5) < 1,
((8x -7)/(2x+3))^(1/2) = (4 - 19/(2x+3))^(1/2) < 2,
и f(x) < 3.

Вроде бы так, если не ошибся

Lang21:
Да, вы правы, а я что-то ступил

Есть только одно, первое решение

Kom906:
Еще одна интересная задача. Вроде получилось одно решение, причем не такое уж сложное и замудренное, как в предыдущий раз. Если будут какие-то замечания с вашей стороны, с удовольствием их приму к сведению

Болдырев Тимофей:
Хорошие задачи. И эта, и предыдущая (где нужно было решить уравнение F(F(x))).

Не подскажите источник (название или, если возможно, ссылку)?

Заранее благодарен.

Приссоединяюсь к Быстрову Сергею Владимировичу, задачи действительно интересные, также интересен источник

Я учусь в ФЗФТШ при МФТИ. Мне периодически присылают задания по физике и математике. В присланном мне задании по математике
("Алгебраические уравнения, неравенства и системы") было две таких задачи. Спасибо, что помогли их решить.

Болдырев Тимофей:
Задания серьезные. Да и сам МФТИ ВУЗ, что называется, не "хухры-мухры". Советую еще обратиться к преподавателю за помощью в разъяснении темы.

Я, например, не знаю, что бы я делал, если бы мне задание с уравнением F(F(x))=x попалось на вступительных испытаниях. Мало того, что для его решения нужно, минимум, часа 2, да еще и нужно учитывать нервотрепку на экзамене. Т.е. решить его экспромтом, по-моему, просто нереально.

Советую готовиться серьезнее и удачного поступления.

Быстров Сергей Владимирович:
Ну, в МФТИ я поступать не собираюсь. Там, говорят, учиться сложно очень.
Я собираюсь поступать в МИИТ (Московский Институт Инженерного Транспорта).
А ФЗФТШ для меня, своего рода репетитор.

И тем более вступительные экзамены не надо будет сдавать, достаточно будет ЕГЭ, а на ЕГЭ такое задание вряд ли дадут.

Но с темой обязательно разберусь, самому интересно стало.

С уважением.

Болдырев Тимофей:
Меня только что поправили другие эксперты.

Я действительно допустил ошибку, приняв
(8x-7)/(2x+3) = 4-5/(2x+3).

Правильно было бы
(8x-7)/(2x+3) = 4-19/(2x+3).

Но тогда логика решения другая.
Однако, возможно, это опечатка в условии задачи (вместо 8x-7 надо писать 8x+7). Советую это тоже выяснить у преподавателя. Если все же 8x-7, можете снова задать этот вопрос на портале. Попробуем решить вновь.

По поводу ЕГЭ. Да. Оно в корне изменило порядок поступления в ВУЗ (а я писал в соответствии со старым порядком) и такие задачи на ЕГЭ, действительно, вряд ли дадут.

Конечно, мое абитуриентское время тоже было не сахаром, хотя я поступал и окончил провинциальный ВУЗ. Но я именно всерьез готовился к поступлению, прорешивал сложные задачи, в чем-то помогали учителя, даже родители, ходил на вузовские курсы. В результате дошел до такого уровня подготовки, что буквально через несколько секунд после прочтения задачи своего вступительного экзамена мог наметить правильный план ее решения. Поэтому и призываю вас к серьезной подготовке.

Если интересует абитуриентская литература, то можете поискать, примерно годов 70-х, начала 80-х. Материалы можно найти класные. Все современные пособия просто отдыхают. Литературу перестроечных и постперестроечных времен лучше не берите совсем (исключением могут служить только издания, которые переиздавались в это время, а не создавались в нем).

А если вам интересны задачи ЕГЭ, то рекомендую ознакомиться с этим:
http://www.resolventa.ru/demo/demo.htm#ЕГЭ201011класс
http://www.fipi.ru/

Далее. Есть отличный (для абитуриентов) журнал "Квант": http://kvant.mirror1.mccme.ru/

Удачи!