Здравствуйте, Фиала.

Начнем с того, что иностранные граждане и лица без гражданства в РФ пользуются теми же правами и обязанностями, что и граждане РФ (за некоторыми исключениями, напр., не вправе занимать гос. должности, участвовать в выборах и тп., в общем, ограничены в основном в политических правах) - см. ст. 1196 Гражданского кодекса РФ и ст. 4 Федерального закона от 25.07.2002 № 115-ФЗ "О правовом положении иностранных граждан в Российской Федерации".
Согласно п. 6 ст. 11 Федерального закона от 22.08.1996 № 125-ФЗ "О высшем и послевузовском профессиональном образовании" (далее - Закон № 125-ФЗ) прием иностранных граждан в аспирантуру (адъюнктуру), ординатуру, интернатуру и докторантуру высших учебных заведений, образовательных учреждений дополнительного профессионального образования, научных организаций осуществляется в соответствии с международными договорами РФ и межправительственными соглашениями РФ, а также в порядке, предусмотренном п. 2 ст. 29 Закона № 125-ФЗ.
Пункт 2 ст. 29 Закон № 125-ФЗ устанавливает, что ВУЗ вправе в пределах, установленных лицензией, осуществлять сверх финансируемых за счет средств соответствующего бюджета контрольных цифр приема студентов подготовку специалистов по соответствующим договорам с оплатой стоимости обучения физическими и (или) юридическими лицами в объеме, согласованном с органом исполнительной власти или исполнительно-распорядительным органом городского округа, муниципального района, в ведении которого это высшее учебное заведение находится. Примерная форма договора на оказание платных образовательных услуг в сфере профессионального образования утверждена Приказом Минобразования РФ от 28.07.2003 № 3177.

Таким образом образовательное учреждение вправе принимать в аспирантуру граждан (а равно иностранных граждан и лиц без гражданства) как безвозмездно, так и на платной основе.
Также рекомендую Вам изучить:
а) Постановление Правительства РФ от 25 августа 2008 г. № 638 "О сотрудничестве с зарубежными странами в области образования",
б) Письмо Минобразования РФ от 19 октября 2001 г. № 34-55-364,
в) Письмо Федерального агентства по образованию от 18 апреля 2007 г. № 13-55-185 "О некоторых вопросах приема иностранных граждан в российские вузы",
г) Письмо Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки от 25 июня 2008 г. № 01-285/05-01 "О приеме иностранных граждан
в российские образовательные учреждения и признании иностранных документов об образовании в 2008 году",
д) Письмо Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки от 19 июня 2007 г. № 01-289/05-01 "О приеме граждан с документами об образовании иностранных государств в российские образовательные учреждения".
Полагаю, что после их прочтения многие Ваши вопросы будут сняты.

По поводу учета учреждением денежных средств, поступающих от приносящей доход деятельности, могу сказать следующее (в двух словах):
1. Некоммерческие организации (бюджетные учреждения в том числе) вправе осуществлять предпринимательскую деятельность, но лишь постольку, поскольку это служит достижению целей, ради которых они созданы, и соответствующую этим целям (ст. 50 Гражданского кодекса РФ),
2. Такое право бюджетного учреждение должно быть зафиксировано в его учредительных документах (ст. 298 Гражданского кодекса РФ), иначе нельзя, т.е. иначе учреждение выйдет за рамки специальной правоспособности и заключаемые им договора в рамках предпринимательской деятельности могут быть признаны недействительными по ст. 173 Гражданского кодекса РФ,
3. Доходы, полученные учреждением от предпринимательской деятельности, и приобретенное за счет этих доходов имущество поступают в самостоятельное распоряжение учреждения и учитываются на отдельном балансе (ст. 298 Гражданского кодекса РФ),
4. Учреждение не может обладать на праве собственности имуществом, приобретенным им за счет доходов от предпринимательской деятельности (см. постановление ВАС РФ № 21 от 22.06.2006).
Федерального закона, который определял бы особенности использования бюджетными учреждениями средств от оказания платных услуг и иной приносящей доход деятельности пока нет, поэтому обычно учреждения ведут отдельный баланс по таким доходам, в финансовых органах открывают отдельные счета (куда поступают такие средства) и согласовывают с собственником (учредителем) как и куда такие средства потратить. Другими словами, доходы от предпринимательской деятельности учитываются бюджетным учреждением в отдельных сметах доходов и расходов и расходуются этими учреждениями в соответствии со сметами доходов и расходов по приносящей доход деятельности, утвержденными распорядителями средств бюджета.