давно
Мастер-Эксперт
17387
18345
11.10.2008, 15:45
общий
это ответ
Здравствуйте, Stepanov92!
Решение.
Обозначим через 2x и 2y отрезки медиан, проведенных к сторонам a и b соответственно, заключенные между вершинами, из которых они проведены, и точкой их пересечения. Тогда, по свойству медианы, оставшиеся части медиан будут соответственно равны x и y.
Применяя теорему Пифагора (медианы перпендикулярны по условию), получим два уравнения:
4x2 + y2 = b2)/4,
x2 + 4y2 = a2)/4.
Умножая второе уравнение на 4 и отнимая от него первое, получим
15y2 = a2 – b2/4,
y2= (1/15)(a2 – b2/4).
Умножая первое уравнение на 4 и отнимая от него второе, получим
15x2 = b2 – a2/4,
x2 = (1/15)(b2 – a2/4).
Поскольку
4x2 + 4y2 = c2,
постольку
c2 = 4(1/15)(b2 – a2/4 + a2 – b2/4) = (1/5)(a2 + b2).
c = √[(1/5)(a^2 + b^2)].
Ответ: c = √[(1/5)(a2 + b2)].
С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.