Здравствуйте, Sacha!
Вот в приложении простейшее решение Вашей задачи.
Решается с помощью множителей nums
Я не понял, честно говоря, почему именно такое число должно получиться, но получил

Приложение:
; Title NEW
.model tiny
.386
LOCALS @@
.code
org 100h
start:
mov ax, 3
int 10h

mov eax, 12345678
CALL writeDWORD_DEC

CALL invert
CALL CRLF
CALL writeDWORD_DEC



lea dx, msg_press
mov ah, 9
int 21h
xor ax, ax
int 16h
int 20h

invert proc
; ОЖИДАЕТ слово для изменения в EAX
; организована аналогично writeDWORD_DEC
; только не показывает, а заполняет массив nums
; а из него формирует слово с помощью массива множителей mults
; и возвращает в EAX
push ebx
push ecx
push edx
push esi
push edi
mov ebx, 10
xor ecx, ecx
@@1:
xor edx, edx
div ebx
inc ecx
push edx
or eax, eax
jnz @@1
lea si, mults
cld
xor edi, edi ; временный аккумулятор числа
@@2:
lodsd
pop ebx
mul ebx
cwd
add edi, eax
LOOP @@2
mov eax, edi
pop edi
pop esi
pop edx
pop ecx
pop ebx
ret
invert endp

writeDWORD_DEC proc
; двойное слово в EAX показывает
push eax
push ebx
push ecx
push edx
mov ebx, 10
xor ecx, ecx
@@1:
xor edx, edx
div ebx
inc ecx
push edx
or eax, eax
jnz @@1
@@2:
pop eax
add al, '0'
int 29h
LOOP @@2
pop edx
pop ecx
pop ebx
pop eax
ret
writeDWORD_DEC endp

CRLF proc
push ax
mov al, 10
int 29h
mov al, 13
int 29h
pop ax
ret
CRLF endp

; с помощью этого массива любой порядок можно организовать ;))
mults dd 10, 1, 10000000, 1000000, 100000, 10000, 1000, 100
msg_press db 13,10,'Press any key ...$'

end start

Здравствуйте, Sacha!
Например, так, как в приложении.
Для удобства используем 32-разрядные регистры.


Приложение:
.model tiny
.386
.code
.startup
mov eax, 12345678h ;наша переменная
mov cx, 30 ;число циклов на 2 меньше чем разрядность переменной
mov edx, 80000000h ;маска первого бита
mov esi, 5fffffffh ;маска для обнуления обоих битов
main_loop:
mov ebx, edx ;маска первого бита
and ebx, eax ;получим первый бит
shr ebx, 2 ;поставим его на место второго бита
shr edx, 2 ;сформируем маску второго бита
mov edi, edx ;маска второго бита
and edi, eax ;получим второй бит
shl edi, 2 ;поставим его на место первого бита
and eax, esi ;обнуляем биты на обоих местах
or eax, ebx ;записываем бывший первый на место второго
or eax, edi ;а бывший второй на место первого
shl edx, 1 ;формируем маску первого бита для следующей итерации
ror esi, 1 ;маска для обнуления для следующей итерации
loop main_loop ;зацикливаем
.exit 0
end