Здравствуйте, Заболотских Татьяна Сергеевна!

Решение.

(tg x)^2 + (ctg x)^2 = [$8730$]2*(sin x + cos x),
(sin x/cos x)^2 + (cos x/sin x)^2 = 2*(cos(п/4 - x)),
((sin x)^4 + (cos x)^4)/((sin x)*(cos x))^2 = 2*(cos(п/4 - x)),
(((sin x)^2 + (cos x)^2)^2 - 2*((sin x)^2)*((cos x)^2))/((sin x)*(cos x))^2 = 2*(cos(п/4 - x)),
(1 - 2*((sin x)^2)*((cos x)^2))/((sin x)*(cos x))^2 = 2*(cos(п/4 - x)),
1 - (1/2)*(sin 2x)^2 = (1/2)*(cos(п/4 - x))*(sin 2x)^2,
(1/2)*(cos(п/4 - x))*(sin 2x)^2 + (1/2)*(sin 2x)^2 = 1,
(1/2)*((sin 2x)^2)*(cos (п/4 - x) + 1) = 1,
((sin 2x)^2)*(cos (п/4 - x) + 1) = 2,
2*((sin 2x)^2)*(cos (п/8 - x/2))^2 = 2,
((sin 2x)^2)*(cos (п/8 - x/2))^2 = 1. (*)

Уравнение (*) распадается на два уравнения
(sin 2x)*(cos (п/8 - x/2)) = 1, (**)
(sin 2x)*(cos (п/8 - x/2)) = -1. (***)

Решаем уравнение (**). Имеем
(sin 2x = 1, (cos (п/8 - x/2)) = 1 или sin 2x = -1, (cos (п/8 - x/2)) = -1), откуда
2x = п/2 + 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = п/4 + п*k, k [$8712$] Z; (А)
п/8 - x/2 = 2*п*k, k [$8712$] Z,
-x/2 = 2*п*k - п/8, k [$8712$] Z,
x = п/4 - 4*п*k, k [$8712$] Z; (Б);
пересечением множеств (А) и (Б) является множество x = п/4 + 4*п*k, k [$8712$] Z; (В)
2x = -п/2 + 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = -п/4 + п*k, k [$8712$] Z; (Г);
п/8 - x/2 = п + 2*п*k, k [$8712$] Z,
-x/2 = (7/8)*п + 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = (7/4)*п - 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = -п/4 - 2*п*k, k [$8712$] Z (Д);
пересечением множеств (Г) и (Д) является множество x = -п/4 + 2*п*k, k [$8712$] Z. (Е)
Следовательно, решением уравнения (**) является объединение множеств (В) и (Е).

Решаем уравнение (***). Имеем
(sin 2x = 1, (cos (п/8 - x/2)) = -1 или sin 2x = -1, (cos (п/8 - x/2)) = 1), откуда
2x = п/2 + 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = п/4 + п*k, k [$8712$] Z; (Ж)
п/8 - x/2 = п + 2*п*k, k [$8712$] Z,
-x/2 = (7/8)*п + 2*п*k - п/8, k [$8712$] Z,
x = -п/4 - 2*п*k, k [$8712$] Z; (З);
пересечением множеств (Ж) и (З) является пустое множество;
2x = -п/2 + 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = -п/4 + п*k, k [$8712$] Z; (К);
п/8 - x/2 = 2*п*k, k [$8712$] Z,
x = п/4 - 4*п*k, k [$8712$] Z (Л);
пересечением множеств (К) и (Л) является пустое множество.
Следовательно, уравнение (***) не имеет решения.

Значит, решением уравнения (*) и тождественного ему исходного уравнения является множество решений уравнения (**).

Ответ: x = -п/4 + 2*п*k, x = п/4 + 4*п*k, k [$8712$] Z.