Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 145506
30.09.2008, 12:37
0.00 руб.
0 6 1
Образование
Здравствуйте , уважаемые эксперты . Есть 2 вопроса в которых я сомневаюсь , надеюсь что поможете . В мелочах разберусь сам , дайте хотя бы направление .
1) Y"+4*Y'=4/sin2x , Y(Pi/4)=2 , Y'(Pi/4)=Pi - решить .
2) f(x)=(cosx)^5 - разложить в ряд Фурье .
Заранее благодарен . С уважением .

Обсуждение

давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
03.10.2008, 23:23
общий
это ответ
Здравствуйте, Айболит!

1. Для нахождения частного решения заданного ДУ метод неопределенных коэффициентов не подходит. Поэтому для нахождения общего решения следует использовать метод вариации произвольных постоянных.

Поскольку соответствующее однородное уравнение
Z” + 4Z’ = 0,
характеристическим уравнением которого является уравнение
k^2 + 4k = 0, а решениями – k1 = 0, k2 = -4,
имеет фундаментальную систему решений Z1 = 1, Z2 = e^(-4X), то общее решение заданного уравнения следует искать в виде
Y = C1(X) + C2(X)*e^(-4X),
где функции C1(X) и C2(X) находятся из системы дифференциальных уравнений
C1’(X) + C2’*e^(-4X) = 0,
-4*C2’(X)*e^(-4X) = 4/sin 2X.

Решив эту систему и подставив начальные условия, можно решить задачу. Используйте определитель Вронского.

2. Поскольку
(cos x)^2 = (1/2)*(cos 0 + cos 2x) = (1/2)*(1 + cos 2x) = 1/2 + (cos 2x)/2,
(cos x)^4 = (1/2 + (cos 2x)/2)^2 = 1/4 + (cos 2x)/2 + (1/4)*(cos 2x)^2) =
= 1/4 + (cos 2x)/2 + (1/4)*(1/2 + (cos 4x)/2)) = 1/4 + (cos 2x)/2 + 1/8 + (cos 4x)/8 =
= 3/8 + (cos 2x)/2 + (cos 4x)/8,
то
(cos x)^5 = (cos x)*(cos x)^4 = (3/8)*cos x + (cos x)*(cos 2x)/2 + (cos x)*(cos 4x)/8 =
= (3/8)*cos x + (1/2)*(cos x + cos 3x)/2 + (1/2)*(cos 3x + cos 5x)/8 =
= (5/8)*cos x + (5/16)*cos 3x + (1/16)*cos 5x.

Получили представление функции f(x) = (cos x)^5 в виде суммы произведений вида a(n)*cos mx. Спрашивается, чем не ряд Фурье?
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
04.10.2008, 15:58
общий
Cпасибо за помощь .
По поводу первого вопроса - получается интеграл -exp(4x)dx/sin2x . В справочнике Рыжика и Градштейна нет такого - не могу решить хоть убей . Мoжно ли решить даное урaвнение операторным методом ? Я , к сожалению , совсем забыл этот метод ...
Второй вопрос : функция чётная - ряд выглядит как а0+а(n)*cosnx . У Вас а0 равно нулю ? Ну , это не важно ... Данную функцию разложу на 3 найденные Вами и составлю сумму из 3 рядов и 3 а0 - это должно быть решением .
Спасибо что решили за меня контрольную , премного благодарен .
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
04.10.2008, 18:32
общий
Здравствуйте, Айболит!

В принципе, любое дифференциальное уравнение можно решить операторным методом. Но в данном случае в этом нет, по-моему, большой необходимости. Думаю, что можно воспользоваться следующими табличными интегралами:
1) [$8747$](e^ax)(sin bx)dx = ((e^ax)/(a^2 + b^2))(a*sin bx - b*cos bx);
2) [$8747$](e^ax)((sin bx)^n)dx = (((e^ax)(sin x)^(n - 1))/(a^2 + n^2))*(a*sin x - n*cos x) + (n*(n - 1)/(a^2 + n^2))*[$8747$](e^ax)((sin x)^(n - 2))dx.
Придется только проявить некоторую смекалку...

По поводу второго вопроса замечу, что
cos x = cos x,
(cos x)^2 = 1/2 + (1/2)*(cos 2x),
(cos x)^3 = (3/4)*(cos x) + (1/4)*(cos 3x),
(cos x)^4 = 3/8 + (cos 2x)/2 + (cos 4x)/8,
...

Как видите, в разложении слагаемое вида a(0) то появляется, то исчезает... Кстати, зачем разлагать полученные мной выражения на степенные ряды? Ведь тогда получаются не ряды Фурье.

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
04.10.2008, 21:25
общий
На странице 211 пишут что мой интеграл не выражается с помощью конечной комбинации элементарных фунций , видать прийдётся доставать справочники по опеационному исчилению . Формулы которые Вы показали я рассмотрел ещё до подачи вопроса - они не годятся , синус разлагаь на синус и косинус вроде ещё печальней .
Я имел ввиду разложение в ряд Фурье , довольно легко - 3 штуки можно быстро наклепать , сложив 3 коэфициента а0 получу единое а0 . Только при сложении 3 рядов получиться довольно сложная сумма .
давно
Гордиенко Андрей Владимирович
Мастер-Эксперт
17387
18345
05.10.2008, 03:24
общий
Здравствуйте, Айболит!

Честно говоря, мне непонятно тогда, в чем проблема. Если интеграл не выражается через комбинацию элементарных функций, то он не находится и методами операционного исчисления. Поэтому следует применить численные методы.

А в отношении ряда Фурье считаю, что искомое разложение имеет тот вид, который я указал. Ряд Фурье - тригонометрический ряд, и разложение тригонометрических функций в степенной ряд необходимо только для численных методов с наперед заданной точностью. Посмотрите, применив непосредственно формулы нахождения коэффициентов ряда Фурье, что получается, и Вы увидите, что в конечном итоге получается сумма, указанная мной. Я получил результаты для (cos x)^2 и (cos x)^3. Они совпадают с суммами, указанными мной выше.

Кстати, на каком факультете Вы учитесь?

С уважением.
Об авторе:
Facta loquuntur.
Неизвестный
05.10.2008, 15:27
общий
Я , наверное , не изучал чсисленные методы . Я закончил энергетический интитут политехнического университета . Получил диплом бакалавра и специалиста ещё года 2 назад . А эти задания - тест чтобы меня взяли на работу по решению задач по математике . Мои знания , похоже , успели устареть за 2 года -
исследование функции заданой параметрически я вообще не изучал ( тут можно всё повесить на гвоздь "отрезок (-1;1)" - вроде всё просто ) . Но вот это уравнение прямо таки подарочек . Остальное вроде тоже можно догнать без особых напряжений . Надеюсь , Вы не из того сайта , и меня таки возьмут .
Форма ответа