Здравствуйте, Viper2013!

1. Площадь ромба равна произведению стороны на высоту:
S = a*h,
а также половине произведения диагоналей:
S = x*y/2.
Короме того, так как диагонали перепендикулярны и делятся пополам точкой пересечения, то
4*a^2 = x^2 + y^2.
У нас есть три уравнения с тремя неизвестными. Исключая последовательно a и y,
взятые из первого и второго уравнений, найдём:
S = (1/2)*h*x^2/sqrt(x^2 - h^2)

2. Площадь сектора 60 градусов равна 1/6 площади круга, площадь треугольника, образованного радиусами и хордой, равна (R^2)*sqrt(3)/4. Соответствующая площадь сегмента S_60 = R^2*(п/6 - sqrt(3)/4).
Площадь сектора 120 градусов равна 1/3 площади круга, площадь треугольника, образованного радиусами и хордой, также равна (R^2)*sqrt(3)/4. Соответствующая площадь сегмента S_120 = R^2*(п/3 - sqrt(3)/4).

Площадь части круга, заключенного между хордами, в зависимости от их расположения , равна:
1) S = S_120 - S_60 = (R^2)*п/6.
2) S = S_круга - S_120 - S_60 = R^2*(п/2 + sqrt(3)/2).

3. Пусть ABC - равносторонний треугольник (AB = BC). Продолжение высоты, опущенной из вершины B, пересекает окружность в некоторой точке B'. Тогда BB' - диаметр окружности, что следует из симметрии. Следовательно, треугольник BAB' - прямоугольный, откуда находим
AB = BC= 2*R*cos(alpha/2),
Площадь треугольника ABC равна:
S = (1/2)*AB*BC*sin(alpha) = 2*R^2*((cos(alpha/2))^2)*sin(alpha).
Отношение площади треугольника к площади круга равно
(2/п)*((cos(alpha/2))^2)*sin(alpha).