Здравствуйте, Daiger!

Предлагаю следующее решение.

Пусть в основании куба лежит квадрат ABCD, а верхней гранью является квадрат A1B1C1D1, причем точка A1 расположена над точкой A, точка B1 - над точкой B и т. д. Проведем в кубе диагональ, например, AC1, и найдем расстояние от нее до скрещивающегося с ней ребра, например, A1B1.

Через концы ребер AA1, AB, AD проведем плоскость и рассмотрим, в каком отношении она делит диагональ AC1. Диагональ AC1 лежит в плоскости AA1C1C. Построим прямую пересечения этой плоскости с плоскостью BDA1. Вершина A1 - одна из точек этой прямой. Прямые AC и BD пересекаются в центре O квадрата ABCD. Это вторая точка пересечения плоскостей BDA1 и AA1C1C. Значит, указанные плоскости пересекаются по прямой A1O. Проводим эту линию и получаем точку M пересечения диагонали AC1 с плоскостью BDA1.

Из подобия треугольников AMO и C1MA1 (по углам) имеем:
AM / C1M = AO / C1A1. Учитывая, что AO = AC / 2 = A1C1 / 2, получаем
AM / C1M = 1 / 2.

Прямая AC является проекцией наклонной AC1 на плоскость ABCD, поскольку C1C [$8869$] ABCD. Грань ABCD - квадрат, значит, AC [$8869$] BD. Отсюда по прямой теореме о трех перпендикулярах получаем, что AC1 [$8869$] BD. Совершенно аналогично устанавливаем, что AC1 [$8869$] BA1. Значит, AC1 [$8869$] BDA1.

Из выведенного и доказанного выше следует, что расстояние между диагональю AC1 и скрещивающимся с ней ребром A1B1 равно расстоянию от точки M до точки A1. Но
MA1^2 = AA1^2 - AM^2,
AA1 = a, AM = AC1 / 3 = a[$8730$]3 / 3,
MA1^2 = a^2 - a^2 / 3 = (2/3) [$149$] a^2,
MA1 = a[$149$][$8730$](2/3).

Ответ: a[$149$][$8730$](2/3).