И как долго будет его "наследовать" государство что бы мне побыстрому разобраться с жильцами в этой квартире?

Это зависит только от расторопности госслужащих.
К примеру, при выдаче справки о смерти (или свидетельства о смерти) изымается паспорт умершего лица. Органы ЗАГСа информируют соответствующую (по прописке) Федеральную миграционную службу (его отделение) о смерти конкретного лица, дабы те, в свою очередь, "убрали" из базы данных сведения об умершем. Соответственно, ФМС переправляет информацию в конкретный паспортный стол для внесения записи в карточку лицевого счета (по месту прописки). Все. Как только выяснится, что по лицевому счету "пусто" - информация об "освобожденной" квартире сразу идет или в Жилищную комиссию, или в Администрацию муниципального образования (везде по разному), и квартира распределяется очередникам или льготникам.
Весь этот "путь" может занять от 1 до.......месяцев. Поэтому сложно что-либо посоветовать Вам в отношении квартирантов. Предупредите их, чтобы они были готовы, в случае чего, съехать в течение 1-2 дней (по первому Вашему требованию). Финансовый вопрос решайте уж самостоятельно.

Добавлено Сазоновым Алексеем: Данный ответ частично неверен по сути и совершенно неприменим в ситуации автора вопроса (см. ниже комментарии Эксперта Lion )

В указанной квартире была зарегистрирована и проживала только тетя?

Согласно пункту 2 ст. 83 Жилищного кодекса РФ дееспособный член семьи нанимателя с согласия остальных членов своей семьи и наймодателя вправе требовать признания себя нанимателем по ранее заключенному договору социального найма вместо первоначального нанимателя. Такое же право принадлежит в случае смерти нанимателя любому дееспособному члену семьи умершего нанимателя.

Согласно п. 2 ст. 686. Гражданского кодекса РФ в случае смерти нанимателя или его выбытия из жилого помещения договор продолжает действовать на тех же условиях, а нанимателем становится один из граждан, постоянно проживающих с прежним нанимателем, по общему согласию между ними. Если такое согласие не достигнуто, все граждане, постоянно проживающие в жилом помещении, становятся сонанимателями.

Если ваша ситуация подпадает под действие процитированных монй норм законодательства, то Вы вправе обратиться к муниципалитету с требованием признать Вас (Вашего отца) нанимателем тетиной квартиры и заключить договор социального найма.

Сазонов Алексей, Вы не внимательно прочли вопрос, и вводите посетителя в заблуждение.
...квартира была не приватизирована и она там была прописана одна .
В соответствие с ч.1 ст.69 ЖК К членам семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма относятся проживающие совместно с ним его супруг, а также дети и родители данного нанимателя. Другие родственники, нетрудоспособные иждивенцы признаются членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма, если они вселены нанимателем в качестве членов его семьи и ведут с ним общее хозяйство . В исключительных случаях иные лица могут быть признаны членами семьи нанимателя жилого помещения по договору социального найма в судебном порядке.
Более того, Вы смешали договор социального найма регулируемый нормами ЖК, и договор коммерческого найма, регулируемый нормами ГК. Для юриста такое произвольное толкование права не допустимо.