Здравствуйте, Станислав!

Могу предложить решение первого вопроса. Оно, может быть, не вполне удовлетворит взыскательного математика, но, по крайней мере, поможет выйти на "нужную магистраль".

Решение.

1. Число 0 будет пределом последовательности u(n) = n∙a^n, если для любого положительного числа ε (сколь угодно малого) найдется такое натуральное число N, что для всех n > N выполняется неравенство |n∙a^n – 0| = |n∙a^n| < ε.

Поскольку n – натуральное число, и a > 0, то n∙a^n > 0. Поэтому должно выполняться неравенство n∙a^n < ε.

Выполним следующие преобразования:
n∙a^n < ε,
a^n < ε/n,
log(a) a^n > log(a) ε/n,
n > log(a) ε – log(a) n (*).

Надо полагать, что неравенство (*) дает возможность найти номер, начиная с которого все члены последовательности {n∙a^n} будут меньше любого наперед заданного положительного числа ε…

Вообще же, наверное, правильнее будет поступить так. Заданная последовательность суть
a, 2a^2, 3a^3, …, na^n, …. Поскольку для всех n, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство u(n) > u(n+1), то начиная с этого номера последовательность является монотонной. Кроме того, она ограничена. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, она имеет предел.

Далее,
u(n) / u(n+1) = (n∙a^n) / ((n+1)∙a^(n+1)) = (n/(n+1))∙(1/a),
следовательно, данная последовательность может быть записана в рекуррентной форме:
u(n+1) = (a∙(n+1)/n)∙u(n) (**).

Воспользуемся тем, что для любой сходящейся (и не обязательно монотонной) последовательности справедливо равенство
lim (n→∞) u(n+1) = lim (n→∞) u(n),
и равенством (**). Тогда
lim (n→∞) u(n) = lim (n→∞) u(n+1),
lim (n→∞) u(n) = a∙ lim (n→∞) ((n+1)/n)∙u(n),
lim (n→∞) u(n) = a∙lim ((n→∞) ((n+1)/n)∙ lim ((n→∞) u(n),
A = a∙1∙A,
A = a∙A,
A - a∙A = 0,
A∙(1 – a) = 0,
A = 0 (через A обозначен искомый предел), так как (1 – a) не равно нулю.
Именно это требовалось доказать…

С уважением.

А это попытка тривиального ответа на второй вопрос. Главное, чтобы было правильно...

2. Проще всего провести через точки (0; -π/2) и (1; π/2) прямую. В этом случае будет задано взаимно однозначное соответствие (биекция) между областью определения (0; 1) и множеством значений (-π/2; π/2).

Для нахождения аналитического выражения функции воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки:
(y – (-π/2)) / (π/2 – (-π/2)) = (x – 0) / (1 – 0),
(y + π/2) / π = x,
y + π/2 = π∙x,
y = π∙x - π/2, x принадлежит интервалу (0; 1).

Аналитическое выражение обратной функции получается при замене переменных в полученном выше выражении:
x = π∙y - π/2, y принадлежит интервалу (0; 1).


Приложение:
Здравствуйте, Станислав!

Отрадно, что есть пища для ума. Но лучше все же, учитывая, что каждый из заданных Вами вопросов требует достаточно много времени для осмысления и написания ответа, оформлять в рассылку по отдельности, а не вместе. По-моему, это увеличивает Ваши шансы на получение ответов.

Как мог, отвтил на Ваш первый вопрос. Если позволит время и состояние ума после трудового дня, попробую ответить на 2-й и 3-й вопросы в течение нескольких дней. Хотя в своей способности ответить на второй вопрос я сомневаюсь, а в ответе на третий вопрос - скорее уверен в том, что он мне не по силам, поскольку еще при изучении курса матанализа (20 лет назад!) даже саму лемму нам давали без доказательства...

Очень надеюсь на то, что другие эксперты более квалифицированы и помогут Вам.

С уважением.