21.07.2019, 06:26 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 751 чел. | участники онлайн: 2 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.77 (31.05.2019)
JS-v.1.34 | CSS-v.3.35

Общие новости:
28.04.2019, 09:13

Форум:
18.07.2019, 12:26

Последний вопрос:
20.07.2019, 17:15
Всего: 149945

Последний ответ:
20.07.2019, 16:43
Всего: 258714

Последняя рассылка:
21.07.2019, 01:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
25.09.2010, 20:16 »
kot31
Спасибо, мой ответ был таким же, но не так подробно и всё по полочкам... [вопрос № 180022, ответ № 263185]
17.04.2016, 22:29 »
andruxa2112
Спасибо большое. Там больше ничего не нужно вставлять? [вопрос № 189197, ответ № 273685]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Paradyun
Статус: 2-й класс
Рейтинг: 508
kovalenina
Статус: Практикант
Рейтинг: 198
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 146

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 143256
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Cкыбицкий Сергей Анатолийович
Отправлена: 07.09.2008, 08:54
Поступило ответов: 1

Вот уже неделю решаю контрольную по математике и никак не получаеться решить один интеграл: 1) Найти неопределеного интеграл
dx/(x-4)^2*(x^2+16)

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 228718 от Айболит

Здравствуйте, Cкыбицкий Сергей Анатолийович!
Это подинтегральное выражение разлагается на 3 , а может быть и на 4 простейшие дроби которые мы и будем интегрировать . Ещё можно вычислить этот интеграл с помощью вычетов , если нужен именно второй метод - отпишитесь , я напишу и второй . Решение этого интеграла практически сводится к нахождению коэфициентов А , В , С и D .
INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = INT[A*dx/(x-4)^2] + INT[B*dx/(x-4)] + INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)]
Приняв за х=4 найдём коэфициенты А и В .
А = 1/(x^2+16) = 1/(16+16) = 1/32 ;
B = (1/(x^2+16))' = -2*x/(x^2+16)^2 = -2*4/(16+16)^2 = -8/(32*32) = -1/128 .
Теперь составим равенство с помощью которого легко найдём оставшиеся коєфициенты С и D , приведя все 3 интеграла к общему знаменателю .
A*(x^2+16) + B*(x-4)*(x^2+16) + (C*x+D)*((x-4)^2) = 1 . Раскрываем скобки и подставляем уже найденные коэфициенты А и В , далее групируем члены с одинаковыми степенями Х и помним что в результате должна остаться только 1 .
((x^2)/32) + (1/2) - ((x^3)/128) + ((x^2)/32) - (x/8) +(1/2) + C*(x^3) - 8*C*(x^2) + 16*C*x + D*(x^2) - 8*D*x + 16*D = 1 . Поймите правильно что я в уме разложил (х-4)^2 = (x^2) - 8*x + 16 .
Теперь обратим внимание на коэфициенты возле (х^3) , изначально в числителе есть только 1 и ни одного члена с какой бы то ни было степенью Х , поэтому в сумме коэфициенты возле любой степени Х должны равняться нулю , в том числе и Х в 3 степени , выводим члены с х^3 и их сумму приравниваем к нулю : -((x^3)/128) + C*(x^3) = 0 = (x^3)*(C-(1/128)) => C = 1/128 .
Далее находим члены с нулевой степенью Х ( то есть свободные члены , не перемноженые на Х , Х^0=1) : (1/2)+(1/2)+16*D=1 => D=0 . Из всех коэфициентов проще всего было определить D .
Теперь возвращаемся к начальному равенству и легко находим 3 неопределёёных интеграла , их сумма и будет решением заданого интеграла , только не забудем дописать константу С так как искомый интеграл неопределённый . Простые коэфициенты выносим за знак интеграла .
INT[A*dx/(x-4)^2] = (1/32)*INT[dx/(x-4)^2] = -1/(32*(x-4)) .
INT[B*dx/(x-4)] = (-1/128)*INT[dx/(x-4)] = (-1/128)*Ln[x-4] , тут логарифмическое выражение пишем в модуле , а не в скобках ...
INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)] = (1/128)*INT[(x+0)*dx/(x^2+16)] = (1/256)*INT[2*x*dx/(x^2+16)] =
= (1/256)*Ln[x^2+16] = (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] , тут знак модуля не сильно нужен так как сумма квадратов будет больше нуля кроме случая комплексных чисел , где х больше 4i по модулю , і=sqrt(-1) .
sqrt - корень квадратный .
Ну вот и всё , теперь осталось только сложить полученные интегралы .
INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (-1/128)*Ln[x-4] + (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] + С , С=const .
Зная свойства логарифма можно немного сократить ответ .
ОТВЕТ: INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (1/128)*Ln[(sqrt(x^2+16))/(x-4)] + C .
Р.S. Преподаватель будет счастлив узнать что в случае ненулевого коэфициента D у нас был бы ещё и 4 интеграл , который решился бы как (D/4)*arctg(x/4) .
Успехов .



Консультировал: Айболит
Дата отправки: 07.09.2008, 13:10

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 143256

Гордиенко Андрей Владимирович
Академик

ID: 17387

# 1

= общий = | 07.09.2008, 14:07 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Согласен с ходом решения своего уважаемого коллеги, хотя не вникал в детали приведенных им выкладок. Хочу отметить следующее. Из задания, если быть пунктуальным (соблюдая правила чтения знаков математических операций), следует, что требуется найти интеграл
INT (x^2 + 16)dx/(x - 4)^2. Хотя больших трудностей вычисление этого интеграла не содержит, но это совсем другой случай...

=====
Facta loquuntur.

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.14016 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.77 от 31.05.2019
Версия JS: 1.34 | Версия CSS: 3.35