Здравствуйте, Станислав!

1. 1. Установим сходимость заданного ряда. Найдем сначала предел последовательности, составленной из членов ряда, то есть lim (n→∞) (2n-1)/(2^n).

Используя свойства пределов, представим этот предел в виде разности:
lim (n→∞) (2n-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n).

В полученной разности lim (n→∞) 1/(2^n) = 0. В самом деле, |1/(2^n) – 0| = |1/(2^n)| < ε при всех n > N =
= log(2) (1/ε).

Кроме того,
lim (n→∞) (2n)/(2^n) = 2∙lim (n→∞) n/(2^n), а поскольку
1/(2^n) ≤ n/(2^n) ≤ 2/n (так как n/(2^n) /1/(2^n) = n ≥ 1, и 2/n - n/(2^n) =
= [(2^(n+1) – n^2) / (n∙2^n)] > 0),
и lim (n→∞) 1/(2^n) = 0, lim (n→∞) 2/n = 0, то по теореме о промежуточной переменной
lim (n→∞) n/(2^n) = 0.

Следовательно,
lim (n→∞) (2n-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n) = 0 (разность двух бесконечно малых последовательностей суть бесконечно малая последовательность). Необходимое условие сходимости ряда выполнено.

В качестве достаточного признака сходимости данного ряда используем признак Даламбера. Имеем
u(n) = (2n-1)/(2^n), u(n+1) = (2(n+1)-1)/(2^(n+1)) = (2n+1)/(2^(n+1)),
u(n+1) / u(n) = [(2n+1)(2^n)] / [(2n-1)(2^(n+1))] = (2n+1) / (2∙(2n-1)) = (1/2)∙(1 + 2/(2n-1)),
lim (n→∞) (1/2)∙(1 + 2/(2n-1)) = (1/2)∙ lim (n→∞) (1 + 2/(2n-1)) = 1/2, следовательно заданный ряд сходится.

Рассмотрим частичные суммы ряда:
S(1) = u1 = (2n-1)/(2^n) = 1/2,
S(2) = u1 + u2 = (2(n-1)-1)/(2^(n-1)) + (2n-1)/(2^n) = (6n-7)/(2^n) = 5/4,
S(3) = u1 + u2 + u3 = (2(n-2)-1)/(2^(n-2)) + (2(n-1)-1)/(2^(n-1)) + (2n-1)/(2^n) = (14n-27)/(2^n) = 15/8,
S(4) = u1 + u2 + u3 + u4 = … = (30n-83)/(2^n) = 37/16,
…

Получили последовательность частичных сумм. Теперь остается только найти аналитическое выражение для общего члена этой последовательности и его предел при n→∞. Но, увы, найти требуемое аналитическое выражение у меня не получилось…

2.1. При n=1 имеем
1^3 = 1,
1*(1+1)*(1+2)/3 = 1*2*3/3 = 2, и равенство не выполнятся.

При n=2 имеем
1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9,
2∙(2+2)∙(2+3)/3 = 2∙4∙5/3 = 40/3, и равенство снова не выполняется.

Следовательно, заданное равенство доказать невозможно.

Однако известно следующее равенство:
1^3 + 2^3 + … + n^3 = (1 + 2 + … + n)^2.

Докажем это равенство методом математической индукции. При n = 1 имеем
1^3 = 1, 1^2 = 1, и равенство выполняется.

Предположим, что равенство выполняется при n = k, то есть
1^3 + 2^3 + … + k^3 = (1 + 2 + … + k)^2,
и докажем, что тогда оно выполняется при n = k + 1.

Имеет место
(1 + 2 + … + (k + 1))^2 = (1 + 2 + … + k)^2 + 2∙(1 + 2 + … + k)∙(k + 1) + (k + 1)^2 =
= (1 + 2 + … + k)^2 + 2∙k∙(k + 1)/2 + (k + 1)^2 = (1 + 2 + … + k)^2 + (k + 1)^3 =
= 1^3 + 2^3 + … + k^3 + (k + 1)^3,
(1 + 2 + … + (k + 1))^2 = 1^3 + 2^3 + … + (k + 1)^3,
что и требовалось доказать.

2.2. Для удобства выкладок обозначим левую часть заданного равенства через R(n), а правую – через S(n).

Пусть n = 1. Тогда R(1) = sqrt (2) и S(1) = 2∙cos (π/4) = sqrt (2), то есть заданное равенство выполняется.
Предположим, что R(k) = S(k), и докажем, что R(k + 1) = S(k + 1). Для этого преобразуем равенство
R(k) = S(k) следующим образом:
2 + R(k) = S(k) + 2,
2 + R(k) = 2∙(2∙(cos (π/(2^(k+2)))^2 – 1) + 2,
2 + R(k) = 4∙[cos (π/(2^(k + 2)))]^2,
sqrt (2 + R(k)) = 2∙cos (π/(2^(k+2))),
R(k+1) = S(k + 1),
что и требовалось доказать.

Пришлось поломать голову...

С уважением.