16.07.2019, 08:27 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 745 чел. | участники онлайн: 2 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.77 (31.05.2019)
JS-v.1.34 | CSS-v.3.35

Общие новости:
28.04.2019, 09:13

Форум:
05.07.2019, 10:35

Последний вопрос:
15.07.2019, 20:51
Всего: 149927

Последний ответ:
15.07.2019, 15:19
Всего: 258698

Последняя рассылка:
16.07.2019, 05:15

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
29.11.2011, 23:32 »
Посетитель - 382320
Спасибо! не могли бы вы подсказать как выглядит сильный предел последовательности операторов. [вопрос № 184612, ответ № 268979]
01.02.2011, 13:44 »
Кэр Лаэда
спасибо, продолжение беседы читайте в минифоруме [вопрос № 182078, ответ № 265684]
22.10.2009, 20:09 »
Зараганников Василий
Неплохо! Главное - понял суть. Спасибо за ответ! [вопрос № 173539, ответ № 255717]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Paradyun
Статус: 2-й класс
Рейтинг: 732
kovalenina
Статус: Практикант
Рейтинг: 198
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 144

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 143242
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Станислав
Отправлена: 06.09.2008, 22:05
Поступило ответов: 1

Здраствуйте уважаемые эксперты,
Помогите решить несколько математических задач, у самого неполучается :(
Задачи в приложении. Очень хотелосьбы чтобы ктонибуть показал детальное решение данных задач, т.к. у самого неочень получается.
Заранее Спасибо.

Приложение:

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Станислав!

1. 1. Установим сходимость заданного ряда. Найдем сначала предел последовательности, составленной из членов ряда, то есть lim (n→∞) (2n-1)/(2^n).

Используя свойства пределов, представим этот предел в виде разности:
lim (n→∞) (2n-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n).

В полученной разности lim (n→∞) 1/(2^n) = 0. В самом деле, |1/(2^n) – 0| = |1/(2^n)| < ε при всех n > N =
= log(2) (1/ε).

Кроме того,
lim (n→∞) (2n)/(2^n) = 2∙lim (n→∞) n/(2^n), а поскольку
1/(2^n) ≤ n/(2^n) ≤ 2/n (так как n/(2^n) /1/(2^n) = n ≥ 1, и 2/n - n/(2^n) =
= [(2^(n+1) – n^2) / (n∙2^n)] > 0),
и lim (n→∞) 1/(2^n) = 0, lim (n→∞) 2/n = 0, то по теореме о промежуточной переменной
lim (n→∞) n/(2^n) = 0.

Следовательно,
lim (n→∞) (2n-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n) = 0 (разность двух бесконечно малых последовательностей суть бесконечно малая последовательность). Необходимое условие сходимости ряда выполнено.

В качестве достаточного признака сходимости данного ряда используем признак Даламбера. Имеем
u(n) = (2n-1)/(2^n), u(n+1) = (2(n+1)-1)/(2^(n+1)) = (2n+1)/(2^(n+1)),
u(n+1) / u(n) = [(2n+1)(2^n)] / [(2n-1)(2^(n+1))] = (2n+1) / (2∙(2n-1)) = (1/2)∙(1 + 2/(2n-1)),
lim (n→∞) (1/2)∙(1 + 2/(2n-1)) = (1/2)∙ lim (n→∞) (1 + 2/(2n-1)) = 1/2, следовательно заданный ряд сходится.

Рассмотрим частичные суммы ряда:
S(1) = u1 = (2n-1)/(2^n) = 1/2,
S(2) = u1 + u2 = (2(n-1)-1)/(2^(n-1)) + (2n-1)/(2^n) = (6n-7)/(2^n) = 5/4,
S(3) = u1 + u2 + u3 = (2(n-2)-1)/(2^(n-2)) + (2(n-1)-1)/(2^(n-1)) + (2n-1)/(2^n) = (14n-27)/(2^n) = 15/8,
S(4) = u1 + u2 + u3 + u4 = … = (30n-83)/(2^n) = 37/16,


Получили последовательность частичных сумм. Теперь остается только найти аналитическое выражение для общего члена этой последовательности и его предел при n→∞. Но, увы, найти требуемое аналитическое выражение у меня не получилось…

2.1. При n=1 имеем
1^3 = 1,
1*(1+1)*(1+2)/3 = 1*2*3/3 = 2, и равенство не выполнятся.

При n=2 имеем
1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9,
2∙(2+2)∙(2+3)/3 = 2∙4∙5/3 = 40/3, и равенство снова не выполняется.

Следовательно, заданное равенство доказать невозможно.

Однако известно следующее равенство:
1^3 + 2^3 + … + n^3 = (1 + 2 + … + n)^2.

Докажем это равенство методом математической индукции. При n = 1 имеем
1^3 = 1, 1^2 = 1, и равенство выполняется.

Предположим, что равенство выполняется при n = k, то есть
1^3 + 2^3 + … + k^3 = (1 + 2 + … + k)^2,
и докажем, что тогда оно выполняется при n = k + 1.

Имеет место
(1 + 2 + … + (k + 1))^2 = (1 + 2 + … + k)^2 + 2∙(1 + 2 + … + k)∙(k + 1) + (k + 1)^2 =
= (1 + 2 + … + k)^2 + 2∙k∙(k + 1)/2 + (k + 1)^2 = (1 + 2 + … + k)^2 + (k + 1)^3 =
= 1^3 + 2^3 + … + k^3 + (k + 1)^3,
(1 + 2 + … + (k + 1))^2 = 1^3 + 2^3 + … + (k + 1)^3,
что и требовалось доказать.

2.2. Для удобства выкладок обозначим левую часть заданного равенства через R(n), а правую – через S(n).

Пусть n = 1. Тогда R(1) = sqrt (2) и S(1) = 2∙cos (π/4) = sqrt (2), то есть заданное равенство выполняется.
Предположим, что R(k) = S(k), и докажем, что R(k + 1) = S(k + 1). Для этого преобразуем равенство
R(k) = S(k) следующим образом:
2 + R(k) = S(k) + 2,
2 + R(k) = 2∙(2∙(cos (π/(2^(k+2)))^2 – 1) + 2,
2 + R(k) = 4∙[cos (π/(2^(k + 2)))]^2,
sqrt (2 + R(k)) = 2∙cos (π/(2^(k+2))),
R(k+1) = S(k + 1),
что и требовалось доказать.

Пришлось поломать голову...

С уважением.


Консультировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Академик)
Дата отправки: 07.09.2008, 13:05

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 143242
Станислав

# 1

= общий = | 07.09.2008, 12:31

Помогите хоть какое из этих задач smile

Гордиенко Андрей Владимирович
Академик

ID: 17387

# 2

= общий = | 09.09.2008, 08:00 | цитировать цитировать  | профиль профиль  |  отправить письмо в личную почту пейджер

Здравствуйте, Станислав!

P. S. Представляя ряд следующим образом
∑(от i=1 до i=n) (2n-1)/(2^n) = 2∑(от i=1 до i=n) n/(2^n) - ∑(от i=1 до i=n) 1/(2^n), удается найти аналитическое выражение для общего члена уменьшаемого ряда (∑(от i=1 до i=n) n/(2^n)). Вот оно:
S(n) = (2∙((2^n) – (n + 1)) + n) / (2^n).

Поэтому задача свелась к нахождению выражения
S = 2∙lim (n→∞) [(2∙((2^n) – (n + 1)) + n) / (2^n)] – lim (n→∞) ∑ (от i=1 до i=n) 1/(2^n).
Значение lim (n→∞) ∑ (от i=1 до i=n) 1/(2^n) есть сумма ряда бесконечной убывающей геометрической прогрессии и дается в курсе математического анализа, а значение
2∙lim (n→∞) [(2∙((2^n) – (n + 1)) + n) / (2^n)] попробуйте найти самостоятельно…

С уважением.

=====
Facta loquuntur.

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13734 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.77 от 31.05.2019
Версия JS: 1.34 | Версия CSS: 3.35