Здравствуйте, Verof!
Задачка, в конечном счёте, простая, но, во избежание ошибки, следует хорошо разобраться в существе дела. А дело всё в том, что здесь, на первый взгляд, "вступают в противоречие между собой" закон сохранения момента импульса и закон сохранения энергии. Момент импульса M_и мяча относительно оси шеста равен: M_и = J*ω (1), где J - момент инерции мяча относительно оси шеста, ω - угловая скорость мяча. Согласно известной формуле, J = m*x_о² (2), где m - масса мяча, x_о - расстояние от мяча до оси шеста, причём, хотя по теореме Пифагора: x_о² = l² + a² (3), где l - текущее значение длины веревки, вследствие того, что a « l, можно принимать x_о = l. С другой стороны, ω = v/l (4), где v - текущее значение скорости мяча. Подставляя начальные значения v = v₀ и l = L, из уравнений (1), (2), (3) и (4) получаем начальное значение момента импульса: M_ин = m*v₀*L (5). Начальное же значение K_эн кинетической энергии мяча равно: K_эн = m*v₀²/2 (6). Если считать, что при наматывании веревки на шест и соответственном уменьшении l сохраняется начальное значение момента импульса, то из (5) с учётом уравнений (1), (2), (3) и (4) получаем, что v = v₀*L/l (7), а из (6) текущее значение K_э кинетической энергии мяча равно: K_э = K_эн*(L/l)²/2 (6), а поскольку L > l то K_э > K_эн. В этом и состоит "противоречие": из закона сохранения момента импульса следует, что кинетическая энергии мяча при наматывании веревки на шест возрастает, но в рссматриваемй системе нет сил, совершающих работу, которая могла бы превратиться в добавочную кинетическую энергию мяча. Приходится "сделать выбор в пользу" закона сохранения энергии. Тогда, на основании (6), конечное значение v_к скорости мяча равно начальному v₀. После пяти полных оборотов длина части веревки, намотавшейся на шест равна 5*2*π*a = 10*π*a; конечное значение l: l_к = L - 10*π*a; конечное значение ω: ω_к = v₀/(L - 10*π*a). Таким образом, ответ получен; однако, поскольку момент импульса мяча уменьшился в (L - 10*π*a)/L раз, для уверенности в "правильности выбора" нужно ответить себе на вопрос "куда он девался". Ответ есть: верёвка натягивается центробежной силой F_ц; будучи приложена к наружной поверхности шеста, эта сила передаёт шесту вращающий момент M_вр = F_ц*a, направленный в ту же сторону, куда обращается мяч вокруг шеста, а шест, в свою очередь, передаёт этот момент земному шару. В соответствии же с 3-м законом Ньютона, земной шар через шест и верёвку передаёт мячу противоположно направленный момент, который и тормозит мяч, постепенно поглощая его момент импульса. При желании можно "сверить баланс" путём детального расчёта, но в условии такая задача не ставится. Рекомендую кое что посмотреть здесь и здесь.