Могу помочь наметить линию решения.
Прежде всего, нужен примерный график на декартовой плоскости, где прорисованы данные линии.
Из чертежа будет видно, что фигура заключена между кривыми у=х-1 (сверху) и lg(1/х) снизу.
Слева и справа она ограничена прямыми х=1 и х=10.
Отсюда искомый интеграл:
S=Int[1;10] (x-1-lg(1/x)) dx
Сложность представляет последнее выражение под интегралом, но оно сначала преобразуется к lg(x), ln(x), а затем заменой
x=exp(t);
dx=exp(t) dt
x э [1;10] -> t э [0; ln(10)]
приводится к интегралу, который последовательным интегрированием по частям также легко решается.