17.02.2019, 05:55 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 393 чел. | участники онлайн: 6 (рекорд: 21)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

задать вопрос

все разделы

правила

новости

участники

доска почёта

форум

блоги

поиск

статистика

наш журнал

наши встречи

наша галерея

отзывы о нас

поддержка

руководство

Версия системы:
7.69 (10.02.2019)
JS-v.1.33 | CSS-v.3.35

Общие новости:
10.02.2019, 21:59

Форум:
16.02.2019, 15:03

Последний вопрос:
16.02.2019, 13:32
Всего: 148762

Последний ответ:
16.02.2019, 15:37
Всего: 257791

Последняя рассылка:
17.02.2019, 03:45

Писем в очереди:
0

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
23.04.2018, 23:07 »
svrvsvrv
Большое спасибо за доступный ответ! [вопрос № 193135, ответ № 276445]
28.06.2012, 19:16 »
Глух
Ваш второй совет помог.Спасибо. [вопрос № 186424, ответ № 271311]
12.04.2010, 15:48 »
geschutze
Благодарю за потраченное время (= [вопрос № 177763, ответ № 260780]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 6444
Михаил Александров
Статус: Специалист
Рейтинг: 927
Коцюрбенко Алексей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 751

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 142085
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Recount
Отправлена: 24.08.2008, 11:07
Поступило ответов: 1

Помогите решить 2 задачи,пожалуйста, вот условия:
1.числа а,в,с таковы что а^2+в^2+с^2=2. Какое наибольшее значение может принимать выражение 2а+в-с.

2.доказать неравенство авс>=(а+в-с)*(в+с-а)*(с+а-с).

Состояние: Консультация закрыта

Здравствуйте, Recount!

Решение задачи 1.
Пусть a, b, c - оси декартовых координат.
Тогда а^2+b^2+с^2=2 - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом sqrt(2) (sqrt - корень квадратный); 2a+b-c=D - уравнение плоскости.
Вектор (2, 1, -1), составленный из коэффициентов в уравнении плоскости, как известно, перпендикулярен ей.
Величина D (с точностью до знака) была бы равна расстоянию плоскости до начала координат, если бы этот вектор был единичной длины. Поэтому, разделив обе части уравнения на модуль вектора (2, 1 -1), равный sqrt(2^2+1^2+(-1)^2) = sqrt(6), получим в правой части расстояние плоскости до начала координат:
d = |D/sqrt(6)|.
Очевидно, D максимально, когда это расстояние равно радиусу сферы, и D положительно:
D/sqrt(6) = sqrt(2), откуда находим
D = sqrt(2)*sqrt(6) = 2*sqrt(3).

Замечание. Задачу можно также решить другим способом, воспользовавшись методом неопределённых множителей Лагранжа.

Решение задачи 2.
Докажем неравенство
аbс>=(а+b-с)*(b+с-а)*(a+c-b) (1)
при условиях
a>=0, b>=0, c>=0. (2)
(При a<0, b<0 и c<0 оно, вообще говоря, не выполняется .)

Обозначим
x=a+b-c; y=a+c-b; z=b+c-a. (3)
Отсюда легко найти:
a=(x+y)/2; b = (x+z)/2; c = (y+z)/2.
В этих обозначениях неравенство (1) перепишется в виде:
(x+y)*(x+z)*(y+z) >= 8xyz, (4)
и условия (2) для переменных будут такими:
x+y>=0; x+z>=0; y+z>=0. (5)

Чтобы доказать (4), раскроем скобки в левой части и перегруппируем члены:
x*(y^2+z^2) + y*(x^2+z^2) + z*(x^2+y^2) + 2xyz >= 8xyz,
x*(y^2-2yz+z^2) + y*(x^2-2xz+z^2) + z*(x^2-2xy+y^2) >= 0, или
x*(y-z)^2 + y*(x-z)^2 + z*(x-y)^2 >= 0.
В результате эквивалентных преобразований мы получили неравенство,
которое выполняется при условиях:
x>=0, y>=0, z>=0. (6)
Следовательно, и (4) выполняется при этих условиях.
Докажем, что (4) выполняется также при условиях (5).
Действительно, если выполняются условия (5), то условия (6) не обязательно выполнены,
но может нарушаться не более одного из неравенств (6). Однако в таком случае правая часть неравенства (4) будет отрицательна, а левая - положительна, что гарантирует его справедливость.
Таким образом, (4) выполняется при условиях (5). Замена переменных согласно (3)
даёт неравенство (1) и условия (2), что и требовалось.


Консультировал: Лангваген Сергей Евгеньевич (Академик)
Дата отправки: 25.08.2008, 18:53

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.13556 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.69 от 10.02.2019
Версия JS: 1.33 | Версия CSS: 3.35