17.01.2019, 17:37 [+3 UTC]
в нашей команде: 3 331 чел. | участники онлайн: 6 (рекорд: 20)

:: РЕГИСТРАЦИЯ

:: задать вопрос

:: все разделы

:: правила

:: новости

:: участники

:: доска почёта

:: форум

:: блоги

:: поиск

:: статистика

:: наш журнал

:: наши встречи

:: наша галерея

:: отзывы о нас

:: поддержка

:: руководство

Версия системы:
7.64 (07.01.2019)
JS-v.1.31 | CSS-v.3.35

Общие новости:
01.01.2019, 13:54

Форум:
14.01.2019, 10:08

Последний вопрос:
17.01.2019, 17:14
Всего: 148509

Последний ответ:
17.01.2019, 15:55
Всего: 257594

Последняя рассылка:
17.01.2019, 14:45

Писем в очереди:
1

Мы в соцсетях:

Наша кнопка:

RFpro.ru - здесь вам помогут!

Отзывы о нас:
03.03.2010, 10:26 »
Попов Андрей Александрович
Спасибо Вам большое [вопрос № 177007, ответ № 259859]
31.12.2011, 14:07 »
Посетитель - 385948
СПАСИБО ОГРОМНОЕ !!!! С НОВЫМ ГОДОМ И РОЖДЕСТВОМ ВАС !!!!!! [вопрос № 185003, ответ № 269404]
30.12.2009, 06:48 »
shader01
Камень с души. Огромное спасибо! [вопрос № 175724, ответ № 258250]

РАЗДЕЛ • Математика

Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

[администратор рассылки: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)]

Лучшие эксперты в этом разделе

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Модератор
Рейтинг: 6504
Коцюрбенко Алексей aka Жерар
Статус: Мастер-Эксперт
Рейтинг: 359
epimkin
Статус: Практикант
Рейтинг: 299

Перейти к консультации №:
 

Консультация онлайн # 141806
Раздел: • Математика
Автор вопроса: Blackie
Отправлена: 20.08.2008, 09:43
Поступило ответов: 1

Здравствуйте. Помогите решить диф. уравнение:
x*y'=y*ln(x/y)
Я начинаю решать так:
делаю замену z=y/x, получаю
x*dz=(z*ln(1/z)-z)*dx
привожу к уравнению с разделенными переменными:
dz/(z*ln(1/z)-z)=dx/x
проинтегрировать ∫(dx/x) труда не представляет, а интеграл ∫(dz/(z*(ln(1/z)-1))) найти не получается. Даже если надо решать по-другому, обязательно распишите подробнее нахождение интеграла, я в них пока не силен.

Состояние: Консультация закрыта

Ответ # 227561 от Tribak

Здравствуйте, Blackie!
это диффиринциальное уравнение - "перевертыш"
если y'=dy/dx
то x'=dx/dy
тоесть как бы x функция от y, а не y от x:
x(y) а не y(x)
также:
y'=dy/dx=1/(dx/du)=1/x'
тогда:
x/x'=y*ln(x/y)
x'=x/y * 1/ln(x/y)]
теперь сделаем замену:
x/y=z
причем z=z(y) тоже функция от y
тогда:
x'=(z*y)'=z'y+y'z=z'y+z
подставим:
z'y+z=z/ln(z)
z'y=z/ln(z)-z=z[1-ln(z)]/ln(z)
z'/{z[1-ln(z)]/ln(z) }=1/y
dz/{z[1-ln(z)]/ln(z) } = dy/y
dz*ln(z)/[1-ln(z)] = dy/y
dy/y = dz*ln(z)/[1-ln(z)]
ln(y)= (возьмем 1/z под знак диффиринциала) = интеграл { ln(z) *d(ln(z))/(1-ln(z)) }= - интеграл { -ln(z)*d(ln(z))/(1-ln(z)) }=
=- интеграл { [1-1-ln(z)*d(ln(z))]/(1-ln(z)) } = - (интеграл { [1-ln(z) *d(ln(z))]/(1-ln(z)) } - интеграл { d(ln(z)) /(1-ln(z)) } )=
=- (интеграл { d(ln(z) } + интеграл { d(-ln(z)/(1-ln(z)) } )=- (интеграл { d(ln(z) } + интеграл { d(1-ln(z)/(1-ln(z)) } )=- (ln(z) + ln(1-ln(z)) )-lnC =-ln(z)-ln(1-ln(z))-lnC
ln(y)=-ln(C*z*(1-ln(z)))
-ln(y)=ln(C*z*(1-ln(z)))
1/y=C*z*(1-ln(z))
подставляя обратно z=x/y
1/y=C*x/y *ln(1-x/y)


Консультировал: Tribak
Дата отправки: 20.08.2008, 12:55

Рейтинг ответа:

0

[подробно]

Сообщение
модераторам

Отправлять сообщения
модераторам могут
только участники портала.
ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
регистрация »

Мини-форум консультации № 141806
Айболит

# 1

= общий = | 20.08.2008, 20:07

Привет . Я вообще подругому решаю подобное . у/х=z --- y=z*x --- y'= z+x*z' . --- обозначает " следует " .
По свойству лагорифма находим : ln(x/y)= [ ln(y/x)^(-1)]= - ln(y/x) . Среднее выражение обозначает логарифм от (у/х) в степени -1 , степень можно вынести за знак логарифма .
Переходим к новой переменной z .
z+x*z'=-z*lnz
x*(dz/dx)= -z*(1+lnz)
dz/(z*(1+lnz))=-dx/x
Для успешного интегрирования надо перейти к новой переменной : u=1+lnz , du=dz/z .
Пусть ? - знак интеграла .
?[du/u] = -?[dx/x]
lnu = C - lnx , где С - константа . Далее возвращаемся к первоначальным переменным .
lnu + lnx = C
ln[u*x] = C
u*x = expC
x*(1 + lnz ) = expC
x*(1 + ln[y/x]) = expC .
Последнее выражение можно записать как ответ , ехрС - число "е" в степени С , С - константа .
По длине моё решение не уступает первому .
С уважением .

 

Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

Яндекс Rambler's Top100

главная страница | поддержка | задать вопрос

Время генерирования страницы: 0.15175 сек.

© 2001-2019, Портал RFPRO.RU, Россия
Калашников О.А.  |  Гладенюк А.Г.
Версия системы: 7.64 от 07.01.2019
Версия JS: 1.31 | Версия CSS: 3.35