Главная Вход в систему Регистрация
Задать вопрос Консультации Пользователи Форум
О системе Помощь
Задать вопрос экспертам
Консультация № 141806
20.08.2008, 09:43
0.00 руб.
0 2 1
Образование
Здравствуйте. Помогите решить диф. уравнение:
x*y'=y*ln(x/y)
Я начинаю решать так:
делаю замену z=y/x, получаю
x*dz=(z*ln(1/z)-z)*dx
привожу к уравнению с разделенными переменными:
dz/(z*ln(1/z)-z)=dx/x
проинтегрировать [$8747$](dx/x) труда не представляет, а интеграл [$8747$](dz/(z*(ln(1/z)-1))) найти не получается. Даже если надо решать по-другому, обязательно распишите подробнее нахождение интеграла, я в них пока не силен.

Обсуждение

Неизвестный
20.08.2008, 12:55
общий
это ответ
Здравствуйте, Blackie!
это диффиринциальное уравнение - "перевертыш"
если y'=dy/dx
то x'=dx/dy
тоесть как бы x функция от y, а не y от x:
x(y) а не y(x)
также:
y'=dy/dx=1/(dx/du)=1/x'
тогда:
x/x'=y*ln(x/y)
x'=x/y * 1/ln(x/y)]
теперь сделаем замену:
x/y=z
причем z=z(y) тоже функция от y
тогда:
x'=(z*y)'=z'y+y'z=z'y+z
подставим:
z'y+z=z/ln(z)
z'y=z/ln(z)-z=z[1-ln(z)]/ln(z)
z'/{z[1-ln(z)]/ln(z) }=1/y
dz/{z[1-ln(z)]/ln(z) } = dy/y
dz*ln(z)/[1-ln(z)] = dy/y
dy/y = dz*ln(z)/[1-ln(z)]
ln(y)= (возьмем 1/z под знак диффиринциала) = интеграл { ln(z) *d(ln(z))/(1-ln(z)) }= - интеграл { -ln(z)*d(ln(z))/(1-ln(z)) }=
=- интеграл { [1-1-ln(z)*d(ln(z))]/(1-ln(z)) } = - (интеграл { [1-ln(z) *d(ln(z))]/(1-ln(z)) } - интеграл { d(ln(z)) /(1-ln(z)) } )=
=- (интеграл { d(ln(z) } + интеграл { d(-ln(z)/(1-ln(z)) } )=- (интеграл { d(ln(z) } + интеграл { d(1-ln(z)/(1-ln(z)) } )=- (ln(z) + ln(1-ln(z)) )-lnC =-ln(z)-ln(1-ln(z))-lnC
ln(y)=-ln(C*z*(1-ln(z)))
-ln(y)=ln(C*z*(1-ln(z)))
1/y=C*z*(1-ln(z))
подставляя обратно z=x/y
1/y=C*x/y *ln(1-x/y)
Неизвестный
20.08.2008, 20:07
общий
Привет . Я вообще подругому решаю подобное . у/х=z --- y=z*x --- y'= z+x*z' . --- обозначает " следует " .
По свойству лагорифма находим : ln(x/y)= [ ln(y/x)^(-1)]= - ln(y/x) . Среднее выражение обозначает логарифм от (у/х) в степени -1 , степень можно вынести за знак логарифма .
Переходим к новой переменной z .
z+x*z'=-z*lnz
x*(dz/dx)= -z*(1+lnz)
dz/(z*(1+lnz))=-dx/x
Для успешного интегрирования надо перейти к новой переменной : u=1+lnz , du=dz/z .
Пусть ? - знак интеграла .
?[du/u] = -?[dx/x]
lnu = C - lnx , где С - константа . Далее возвращаемся к первоначальным переменным .
lnu + lnx = C
ln[u*x] = C
u*x = expC
x*(1 + lnz ) = expC
x*(1 + ln[y/x]) = expC .
Последнее выражение можно записать как ответ , ехрС - число "е" в степени С , С - константа .
По длине моё решение не уступает первому .
С уважением .
Форма ответа