Здравствуйте, Павлов Сергей!
Сначала выполним чертеж в координатах, чертим параболу (алгоритм стандартный: абсцисса оси симметрии (х0=-В/(2А)), ордината оси симметрии (у0=f(х0)) и далее, руководствуясь осевой симметрией, подбираем точки). Далее выясним уравнение хорды по имеющимся координатам точек пересечения с параболой (координаты точек легко определить подставляя х1 и х2 в уравнение параболы, получим координаты (1;4) и (3;8)). Составим систему из двух уравнений:
4=k*1+b
8=k*3+b
Вычтем первое уравнение из второго, получим 4=2k,
k=2. Подставляем k=2 в первое уравнение, тогда b=2. То есть уравнение хорды есть у=2х+2.
Нам следует найти уравнение касательных, параллельных данной прямой. А так как угловой коэффициент параллельных прямых одинаков, то из этого следует вывод, что производная в точке(ах) касания равна 2. Производная функции у=х^2-2х+5 равна 2х-2. То есть выясняем абсциссу точки касания:
2х-2=2
х=2
Далее мы руководствуемся алгоритмом составления уравнения касательной в данной точке:
1) а=2
2) f(a)=5
3) f'(x)=2x-2, f'(a)=2
4) y=f'(x)*(x-a)+f(a)
y=2*(x-2)+5
y=2x+1
Согласно выше приведенному расчету, других касательных, параллельных данной хорде, нет. Это можно заключить и наглядно: все те параллельные прямые с угловым коэффициентом 2 будут пролегать либо ниже найденной касательной (и, очевидно, не будут вообще иметь общих точек с параболой) или будут пролегать выше (и постоянно пересекать параболу в двух точках-а это уже будут секущие, а не касательные).
Ответ: у=2х+1.